Lösen eines Gleichungssystems

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xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösen eines Gleichungssystems
Hi Matheboard User
Ich möchte den Umkugelmittelpunkt eines Tetraeders konstruieren, dessen Eckpunkte mir alle bekannt sind. In Geogebra 5 habe ich bereits ein Tetraeder mit variablen Seitenlängen konstuiert. Jedoch weiß ich nicht wie man nun Raumhöhen erstellt um den Umkugelmittelpunkt zu erzeugen. Also wollte ich versuchen die Koordinaten manuell auszurechnen.

Mein Gedanke war hierbei, dass die Eckpunkte alle den selben Abstand zum Umkugelmittelpunkt haben, nämlich den Radius. Also könnte man nun 4 Kugelgleichungen aufstellen und lösen.


Hierbei sind alle indexierten x,y,z bekannte Koordinaten der jeweiligen Eckpunkte A,B,C,D.
Leider weiß ich überhaupt nicht wie in an ein solchen Gleichungssystem rangehen soll. Es wäre sehr nett wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet.

mfg xparet0209

PS: Viellteicht mit dem Gauß'schen Eliminierungsverfahren?
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Da der Mittelpunkt zu je zwei Ecken denselben Abstand hat, liegt er auf deren Symmetrie-Ebene. Wenn du den Schnittpunkt der Symmetrie-Ebenen zwischen A+B,A+C und A+D errechnest, erhältst du den Umkugelmittelpunkt.

Wenn du je zwei deiner 4 Gleichungen ausmultiplizierst und voneinander abziehst, erhältst du eine Symmetrie-Ebene in Koordinatenform.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Durch Subtraktion von jeweils zwei Gleichungen ergeben sich drei lineare Gleichungen, die nach den Mittelpunktskoordinaten aufgelöst werden können.
Geometrisch entspricht dies der Ermittlung von drei mittensenkrechten Ebenen, welche einander im Mittelpunkt schneiden.

Bei der Angabe ist zu beachten, dass für eine eindeutige Lösung nicht alle 4 gegebenen Punkte auf einem Kreis zu liegen kommen.

mY+
xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Bei der Angabe ist zu beachten, dass für eine eindeutige Lösung nicht alle 4 gegebenen Punkte auf einem Kreis zu liegen kommen.


Es gibt doch allerdings für jedes Tetraeder eine Umkugel - jedenfalls nach http://epub.ub.uni-muenchen.de/4536/1/4536.pdf


Zitat:
Original von mYthos
Durch Subtraktion von jeweils zwei Gleichungen ergeben sich drei lineare Gleichungen, die nach den Mittelpunktskoordinaten aufgelöst werden können.


Ich kann zwar jeweils nach einer Mittelpunktkoordiante umformen, jedoch ist die eine Koordinate wiederum abhängig von den zwei anderen. Soll ich die Gleichungen etwa ineinander einsetzen?

Zitat:
Original von frank09
Wenn du je zwei deiner 4 Gleichungen ausmultiplizierst und voneinander abziehst, erhältst du eine Symmetrie-Ebene in Koordinatenform.

Leider habe ich noch nie zuvor mit Symmetrieebenen gerechnet. Und wenn ich mich nicht irre, dann ergeben Ebenenschnitte doch Geraden oder?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nichts Gegenteiliges behauptet.

Wenn alle 4 Punkte auf einem Kreis liegen, bilden diese auch nicht einen räumlichen, sondern einen entarteten Tetraeder, jedoch auch dann gibt es Kugeln, auf denen alle 4 Punkte liegen, nur sind es dann deren unendlich viele.
_________

Durch die beschriebene Subtraktion erhältst du ein System von 3 linearen Gleichungen in 3 Unbekannten, welches nach den gängigen Methoden zu lösen ist.
_________

Der Schnitt zweier Ebenen ist (im Allgemeinen) eine Gerade, bei drei Ebenen ergeben sich daher drei Geraden, welche sich (wiederum im Allgemeinen) in einem Punkt schneiden.
Löse das System mittels des Eliminationsverfahrens.

mY+
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines Gleichungssystems
Zu beachten ist noch, dass in den 3 Subtraktionen alle 4 Gleichungen benutzt werden müssen. Was nicht ginge, wäre z.B. Gl1-Gl2, Gl2-Gl3 und Gl1-Gl3. In diesem Fall würden sich die 3 Ebenen in einer Gerade schneiden, die senkrecht durch den Umkreismittelpunkt eines Seitendreiecks läuft.
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines Gleichungssystems
vektoriell läßt sich das problem elegant ohne quadratischen schnickschnack lösen Augenzwinkern
xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines Gleichungssystems
Zitat:
Original von riwe
vektoriell läßt sich das problem elegant ohne quadratischen schnickschnack lösen Augenzwinkern

Daran bin ich jetzt interessiert. Wie meinst du das denn?

@mY: Da habe ich wohl Kugel und Kreis verwechselt LOL Hammer

Das Gleichungssystem mit den 3 Gleichungen habe ich nun. (Durch Gl2- Gl1 und Gl3- Gl1 usw.)
Das übrig bleibende ist aber so ewig lang, doch man kann es lösen. Der elegente Lösungsweg würde mich aber schon interessieren.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines Gleichungssystems
Zitat:
Original von xparet0209
Zitat:
Original von riwe
vektoriell läßt sich das problem elegant ohne quadratischen schnickschnack lösen Augenzwinkern

Daran bin ich jetzt interessiert. Wie meinst du das denn?

Das Gleichungssystem mit den 3 Gleichungen habe ich nun. (Durch Gl2- Gl1 und Gl3- Gl1 usw.)
Das übrig bleibende ist aber so ewig lang, doch man kann es lösen. Der elegente Lösungsweg würde mich aber schon interessieren.


skizze:
1) bestimme den umkreismittelpunkt U irgendeines 3ecks.z.b ABC, der 4. punkt sei D, und den normalenvektor der ebene, die diese 3 punkte enthält.
das ist eine einfache lineare (vektor)gleichung bzw. ein einfaches gl-aystem

2) dann liegt der gesuchte punkt M auf der geraden g durch U mit dem normalenvektor als richtungsvektor.

3) den passenden geradenparameter t findest du aus |AM| =|DM|, was eine lineare gleichung in t ergibt

4) einsetzen von t in g und fertig ist das zeug mit r = |AM|

bei bedarf gibt´s mehr Augenzwinkern
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösen eines Gleichungssystems
das fertige "bilderl" könnte so ausschauen:

mit den ortsvektoren von A ... berechnet man den
umkreismittelpunkt K mit ortsvektor des dreiecks :







der umkugelmittelpunkt M mit ortsvektor liegt auf der geraden:


aus


erhält man

xparet0209 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider muss ich sagen, dass ich fast nichts von Vektorrechnung verstehe und deine Ausführungen somit nicht verstehe. Ich habe mir ein paar Grundlagen auf Wikipedia und http://tiburski.de/cybernautenshop/virtuelle_schule/kos/ angeschaut und soweit auch verstanden (glaube ich). Die Idee von dir im vorletzten Beitrag habe ich auch verstanden. Ich denke mein Hauptproblem besteht darin, dass ich nicht verstehe wie du den Umkreismittelpunkt berechnest. Also die ersten 3 Zeilen Hammer
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

den umkreismittelpunkt eines dreiecks erhält man als schnittpunjkt von 2 mittelsenkrechten:






wobei der ortsvektor der mitte der seite AB ist.

einen zu senkrechten vektor der in E mit normalenvektor iegt, erhält man mit hilfe des kreuzproduktes.

beide gleichungen habe ich nun skalar mit multipliziert, wodurch der ausdruck mit faktor s wegfällt, und gleichgesetzt.
damit ergibt sich für den parameter t




und damit für den ortsvektor des umkreismittelpunktes



ok verwirrt
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