Satz des Pythagoras

06.08.2011, 08:45

DerMatheFreak

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Satz des Pythagoras

Ich möchte wissen wie man Formeln umstellt.

1. Nach "a" umstellen:

$\begin{eqnarray*} <br /> c^{2}=a^{2}+b^{2} |-b^{2}<br /> a^{2}=c^{2}-b^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Nun steht aber in einem Buch die Umstellung nach a wie folgt:

$\begin{eqnarray*} <br /> a^{2}=b^{2}-c^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Wie hat man das bitte logischerweise gemacht?

06.08.2011, 08:49

tigerbine

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RE: Satz des Pythagoras
War im Buch denn auch die gleiche Ausgangsgleichung gegeben?

06.08.2011, 08:54

DerMatheFreak

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RE: Satz des Pythagoras
Die Ausgangsfunktion lautet:

$\begin{eqnarray*} b^{2}=a^{2}+c^{2} \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 08:57

tigerbine

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RE: Satz des Pythagoras
Dann sollte es doch auch nicht verwundern, wie umgestellt wurde, oder?

Buchstaben sind nur Platzhalter. Wer sagt denn, dass die Hypotenuse immer c heißt... Idee!

Idee!

06.08.2011, 09:25

DerMatheFreak

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RE: Satz des Pythagoras
Hallo,

Habe angenommen, dass die Hypotenuse immer c ist. Wie bestimme ich denn bitte die Hypotenuse? Ist sie nicht immer die längste Seite in einem Dreieck?

06.08.2011, 09:40

tigerbine

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RE: Satz des Pythagoras

Zitat:

abe angenommen, dass die Hypotenuse immer c ist. Wie bestimme ich denn bitte die Hypotenuse? Ist sie nicht immer die längste Seite in einem Dreieck?

Was hat der Buchstabe c damit zu tun, dass diese Seite immer die Längste ist... Nichts. Nur weil man so eingängig immer lernt a²+b²=c² ist diese Formel wertlos, ohne zu wissen was a,b,c ist.

Wenn nun in der aktuellen Aufgabe nun eben b die Hypotenuse ist, so what?

Ansonsten musst du konkret hier die Aufgabe einstellen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> c^{2}=a^{2}+b^{2} |-b^{2}<br /> a^{2}=c^{2}-b^{2}<br /> \end{eqnarray*}$

Ist umgestellt korrekt, aber ob es die aktuelle Aufgabe widerspiegelt, kann ich so nicht sagen.

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06.08.2011, 09:50

DerMatheFreak

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Wie bestimmt man dann bitte im allgemeinen die Hypotenuse, Tigerbine?

Aufgabe:

Berechne im Dreieck ABC
a) die Größe des Winkels Alpha für a=6,7cm und b=7,3cm
b)die Längen der Seiten a und c für b=8,5cm und Gamma=43°

06.08.2011, 09:53

tigerbine

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Zitat:

Original von DerMatheFreak
Wie bestimmt man dann bitte im allgemeinen die Hypotenuse, Tigerbine?

Es kommt darauf an, was angegeben ist. Da gibt es eine "universelle Formel"

Zitat:

Berechne im Dreieck ABC

Wie sieht das Dreieck ABC aus? Ist es rechtwinklig? Wo ist der rechte Winkel.

06.08.2011, 10:50

DerMatheFreak

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Es sieht genau wie in diesem Link aus. Nur ist C ganz oben.

[attach]20773[/attach]

Bitte lade Deine Bilder immer mit "Dateianhänge" direkt im Beitrag hoch; dann können sie nicht verlorengehen, wenn der Link erlischt.
Danke, Gualtiero

Das ist mir nun äußerst peinlich, aber ich muss diese Frage stellen. Was genau ist denn bitte ein rechter Winkel? Das habe ich damals in der 4. Klasse nie verstanden. Ups

Ups

06.08.2011, 11:16

Mathe-Gast

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Rechter Winkel
Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit 90°.
Siehe auch: de.wikipedia.org/wiki/Rechter_Winkel.

06.08.2011, 11:39

DerMatheFreak

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RE: Rechter Winkel

Zitat:

Original von Mathe-Gast
Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit 90°.
Siehe auch: de.wikipedia.org/wiki/Rechter_Winkel.

Also Irgendein Winkel oder auch besser "Spitze" vom Dreieck muss zu 90° bzw. 180° zeigen?

06.08.2011, 12:09

Leopold

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Hier kannst du den Satz des Pythagoras in verschiedenen Situationen üben. Stelle zu jeder Zeichnung entsprechende Gleichungen auf.

[attach]20774[/attach]

06.08.2011, 12:26

Squee

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Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit 90°; in einem Rechteck sind alle Winkel rechte Winkel, also 90°. Ein kariertes Blatt Papier besteht aus vielen Quadraten - auch deren Winkel beträgt jeweils 90°. Die Zeiger einer analogen Uhr bilden einen rechten Winkel, wenn es 3 Uhr ist.
Ein Winkel mit 180° ist ein gestreckter Winkel, kein rechter Winkel. Um 6 Uhr bilden die Zeiger einen gestreckten Winkel.

Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Die beiden Seiten, die den Winkel einschließen, nennt man Katheten.

Zur Berechnung der Winkel benötigst Du sinus, cosinus oder tangens.
Hiermit kannst Du auch Seitenlängen bestimmen, wenn Du einen Winkel gegeben hast, der nicht der rechte Winkel ist.

06.08.2011, 12:41

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Squee
Ein rechter Winkel ist ein Winkel mit 90°; in einem Rechteck sind alle Winkel rechte Winkel, also 90°. Ein kariertes Blatt Papier besteht aus vielen Quadraten - auch deren Winkel beträgt jeweils 90°. Die Zeiger einer analogen Uhr bilden einen rechten Winkel, wenn es 3 Uhr ist.
Ein Winkel mit 180° ist ein gestreckter Winkel, kein rechter Winkel. Um 6 Uhr bilden die Zeiger einen gestreckten Winkel.

Die Hypotenuse ist im rechtwinkligen Dreieck die Seite, die gegenüber des rechten Winkels liegt. Sie ist die längste Seite des rechtwinkligen Dreiecks.

Die beiden Seiten, die den Winkel einschließen, nennt man Katheten.

Zur Berechnung der Winkel benötigst Du sinus, cosinus oder tangens.
Hiermit kannst Du auch Seitenlängen bestimmen, wenn Du einen Winkel gegeben hast, der nicht der rechte Winkel ist.

Danke das war wikrlich äußerst hilfreich. Ich denke, dass hätte man gar nicht per Internet besser erklären können. Danke nochmals! Wink

Wink

06.08.2011, 14:50

tigerbine

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Zitat:

Es sieht genau wie in diesem Link aus. Nur ist C ganz oben.

Naja, und wenn man dann der üblichen Notation folgt, ist c eben nicht die Hypotenuse und sondern b. Damit klärt sich doch auch sofort die von dir angezweifelte Rechnung und ich kann meine Ausführungen nur wiederholen. Nicht blind Formeln verwenden, sondern wissen, wofür sie stehen.

Zitat:

Berechne im Dreieck ABC
a) die Größe des Winkels Alpha für a=6,7cm und b=7,3cm
b)die Längen der Seiten a und c für b=8,5cm und Gamma=43°

Bist du hier nun weiter gekommen? Denke auch an die Winkelsätze im Rechtwinkligen Dreieck und wie man dort sin, cos, tan berechnet.

06.08.2011, 17:25

DerMatheFreak

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Aufgabe:

Berechne im Dreieck ABC
a) die Größe des Winkels Alpha für a=6,7cm und b=7,3cm
b)die Längen der Seiten a und c für b=8,5cm und Gamma=43°

a)
$\begin{eqnarray*} <br /> \sin(\alpha) = \frac {Gegenkathete| von |\alpha }{Hypotenuse }<br /> \sin(\alpha) = \frac {6,7}{7,3}<br /> = 0,91° <br /> \end{eqnarray*}$

Was mich hier einwenig verwirrt: Ist in diesem Fall dann nicht die Hypotenuse die Ankathete vom Winkel Alpha?

b)
$\begin{eqnarray*} <br /> c=b*\sin(\gamma) <br /> c=8,5*sin(\gamma)<br /> =5,8cm<br /> <br /> b^{2}=a^{2}+c^{2} |-c^{2}<br /> a^{2}=\sqrt{b^{2}-c^{2}} <br /> a^{2}=\sqrt{8,5^{2}-5,8^{2}}<br /> a=6,21cm<br /> \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 17:31

tigerbine

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Dieser Satz hat ja schon humoristische Züge....

Warum sollte die Hypotenuse (b) eine Ankathete sein? Die Ankathete ist (c). Und c ist nicht immer die Hypotenuse, das habe ich doch nun oft genug gesagt. Es sind nur Buchstaben!!!

$\begin{eqnarray*} <br /> \sin(\alpha) = \frac {Gegenkathete }{Hypotenuse }<br /> \sin(\alpha) = \frac {6,7}{7,3}<br /> \end{eqnarray*}$

Bis hierhin war es gut. Dann kommt Verwirrung auf. Wo zauberst du bei dem Bruch plötzlich ein ° Zeichen her? Nur weil du es in der Lösung brauchst, kann nicht das Argument sein. Wie wäre es mit der Umkehrung des Sinus? $\begin{eqnarray*} \sin^{-1} \end{eqnarray*}$

(b) sieht gut aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.08.2011, 17:44

DerMatheFreak

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Aber sowohl b als auch c liegen an dem Winkel alpha? Deswegen ist es für mich immer noch unverständlich, was Hyptenuse und Ankathete ist. verwirrt

verwirrt

Leider verstehe ich nicht genau, worauf du mit dem - Exponenten hinaus möchtest? unglücklich

unglücklich

06.08.2011, 17:46

tigerbine

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Du hast dich mit den Begriffen Kathete und Hypotenuse nicht genug befasst. Welcher Winkel ist für die Bezeichnung ausschlaggebend? Das wurde hier im Thread auch schon angesprochen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Rechtwinkliges_Dreieck

06.08.2011, 18:03

DerMatheFreak

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Die gegenüberliegende Seite des (90°) rechtenWinkels ist die Hypotenuse.

06.08.2011, 18:17

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} \alpha \sin (\frac{6,7}{7,3})=0,0160 \end{eqnarray*}$

Meinst du das etwa so?

06.08.2011, 18:29

tigerbine

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Zitat:

Original von DerMatheFreak
Die gegenüberliegende Seite des (90°) rechtenWinkels ist die Hypotenuse.

Damit sollte dann doch auch klar sein, was Ankathete und was Hypotenuse ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha \sin (\frac{6,7}{7,3})=0,0160 \end{eqnarray*}$

Nein, was soll dass denn wieder sein... Ich rate dir dringend, die Grundlagen zu dem Thema im Schulbuch zu wiederholen!

$\begin{eqnarray*} \sin(\alpha) = \frac {6,7}{7,3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha = \sin^{-1}\left(\frac {6,7}{7,3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \approx 66,61^\circ \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 18:40

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} sin^{-1} \end{eqnarray*}$ würde doch einfach $\begin{eqnarray*} \frac {1}{sin} \end{eqnarray*}$ heißen, aber ich verstehe nicht was das bedeuten soll. Die Themen wie spitzer Winkel, stumpfer usw. stehen mir in diesem Buch nicht zur verfügung. Leider fängt das Buch bereits bei Sinus an.

06.08.2011, 18:45

tigerbine

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Nein, das ist die Umkehrfunktion des Sinus. Taste ist auch auf dem TR. Und dazu sollte nun ja was im Buch stehen, wenn es bei Sinus beginnt.

Zitat:

Die Themen wie spitzer Winkel, stumpfer usw. stehen mir in diesem Buch nicht zur verfügung.

Es gibt das Internet .... Idee!

Idee!

06.08.2011, 18:53

DerMatheFreak

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Da steht nur permanent dieses "arcsin" das für Gegenkathe von einem Winkel durch hypotenuse steht. Mehr nicht. Und bie meinem Taschenrechner Casio fx-991 kann ich keinen exponenten vor der offenen Sinus Klammer eingeben ohne den Sinus völlig zu entfernen.

06.08.2011, 19:03

tigerbine

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Es gibt da eine eigene Taste für... Genau über der Sinustaste steht es. Da frage ich mich schon, wo du mit deinen Gedanken bist...

Die Umkehrfunktion des Sinus, Schreibweise $\begin{eqnarray*} sin^{-1} \end{eqnarray*}$ nennt man $\begin{eqnarray*} asin \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \arcsin \end{eqnarray*}$ . Intervalle beachten! Der Sinus ist nur lokal umkehrbar.

06.08.2011, 19:16

DerMatheFreak

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Wenn ich auf dem Knopf sinus clike erhalte ich folgende Syntax: sin( Und wenn ich nun das direkt von dem sinus obenliegende Knopf klicke erhalte ich folgendes: sin( ein Rechteck und ein Exponenten Rechteck. Und wenn ich Del klicke um einwenig zurückzugehen, entfernt es nicht nur die offene Klammer sondern auch den gesamten Sinus.

06.08.2011, 19:17

tigerbine

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Ist dir noch nicht aufgefallen, dass deine Knöpfe eine doppelte Belegung besitzen die du über eine Shiftfunktion aufrufen kannst? Du musst die geshiftete Sinustaste verwenden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.08.2011, 19:22

DerMatheFreak

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Danke, Tigerbine. Hat geklappt.

06.08.2011, 19:24

tigerbine

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Dann sind wir fertig, der Hinweis an die Wiederholung der Grundlagen bleibt. Schönen Sonntag. Wink

Wink

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