H liegt echt im Normalisator

06.08.2011, 10:03

svenia

H liegt echt im Normalisator

Hallo Leute,

ich sitze hier gerade vor einer Musterlösung, die ich leider nicht verstehe. Könnt ihr mir dabei etwas helfen? Die erste Frage, die ich habe, was bedeutet dieses $\begin{eqnarray*} [G_{i+1},G] \end{eqnarray*}$ und was bringt mir die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} [G_{i+1},G]\le G_i \end{eqnarray*}$ ? Hat das was mit der Kommutatorgruppe zu tun?

06.08.2011, 11:49

zweiundvierzig

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Hi svenia,

ja, es geht um die Kommutatorgruppe. Aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, G] \le G_i \end{eqnarray*}$ wird wegen $\begin{eqnarray*} H \le G \end{eqnarray*}$ geschlossen, dass $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, H] \le G_i \end{eqnarray*}$ . Das heißt, für alle $\begin{eqnarray*} g \in G_{j + 1}, h \in H \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ghg^{-1}h^{-1} \in G_j \le H \end{eqnarray*}$ . Wie schließen wir nun auf $\begin{eqnarray*} G_{j + 1} \subset N_{G}(H) \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2011, 12:47

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Aus der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, G] \le G_i \end{eqnarray*}$ wird wegen $\begin{eqnarray*} H \le G \end{eqnarray*}$ geschlossen, dass $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, H] \le G_i \end{eqnarray*}$ .

Okay, das ist so, weil wir eine Teilmenge des ursprünglichen Erzeugers betrachten, diese Teilmenge kann also keine größere Gruppe erzeugen, folglich gilt $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, H] \le [G_{i + 1}, G] \le G_i \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Das heißt, für alle $\begin{eqnarray*} g \in G_{j + 1}, h \in H \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ghg^{-1}h^{-1} \in G_j \le H \end{eqnarray*}$ .

Das ist richtig, da j ja genau so gewählt wurde, dass $\begin{eqnarray*} G_j \end{eqnarray*}$ Untergruppe von H ist, aber nicht mehr von $\begin{eqnarray*} G_{j+1} \end{eqnarray*}$ . Dazu noch eine Frage: Es könnte doch auch sein, dass unser j für ein bestimmtes H 0 sein muss, nämlich dann, wenn selbst $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ schon Elemente enthält, die nicht in H sind. Dann hätten wir also für $\begin{eqnarray*} G_j \end{eqnarray*}$ die triviale Gruppe oder?

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wie schließen wir nun auf $\begin{eqnarray*} G_{j + 1} \subset N_{G}(H) \end{eqnarray*}$ ?

Ja das weiß ich nun leider nicht.

06.08.2011, 13:00

Songuti

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für g aus G_(i+1) gilt g^-1 * h * g € H. Dies gilt für alle h€H. Daraus folgt g^-1 * h * g = H.
Und G_(i+1) ist im Normalisator enthalten.

06.08.2011, 13:28

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia

Zitat:

Deine Formulierung ist mir nicht ganz klar, aber die letzte Inklusionskette stimmt.

Zitat:

Original von svenia
Dazu noch eine Frage: Es könnte doch auch sein, dass unser j für ein bestimmtes H 0 sein muss, nämlich dann, wenn selbst $\begin{eqnarray*} G_1 \end{eqnarray*}$ schon Elemente enthält, die nicht in H sind. Dann hätten wir also für $\begin{eqnarray*} G_j \end{eqnarray*}$ die triviale Gruppe oder?

Ja, aber das ändert nichts an Argumentation.

Zitat:

Original von svenia

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wie schließen wir nun auf $\begin{eqnarray*} G_{j + 1} \subset N_{G}(H) \end{eqnarray*}$ ?

Ja das weiß ich nun leider nicht.

Ich habe Dir ja schon einen Ansatz geliefert. Was müssen wir denn für $\begin{eqnarray*} G_{j + 1} \subset N_{G}(H) \end{eqnarray*}$ überhaupt zeigen?

Zitat:

Original von Songuti
für g aus G_(i+1) gilt g^-1 * h * g € H. Dies gilt für alle h€H. Daraus folgt g^-1 * h * g = H.
Und G_(i+1) ist im Normalisator enthalten.

Derartige (zudem noch falsch notierte) Komplettlösungen verstoßen gegen das Boardprinzip.

06.08.2011, 14:54

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ich habe Dir ja schon einen Ansatz geliefert. Was müssen wir denn für $\begin{eqnarray*} G_{j + 1} \subset N_{G}(H) \end{eqnarray*}$ überhaupt zeigen?

Wir müssen zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} g\in G_{j + 1} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} gHg^{-1}=H \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} h\in H \end{eqnarray*}$ , dann wissen wir aber: $\begin{eqnarray*} ghg^{-1}h^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} ghg^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ .

Ich denke, das stimmt soweit, dann müsste ich nur noch den Teil verstehen, in dem gezeigt wird, dass eine Normalreihe mit der gewünschten Eigenschaft existiert.

06.08.2011, 15:07

zweiundvierzig

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Ja, Deine Begründung ist richtig.

Was sind Deine Fragen zum Beweis des Lemmas?

06.08.2011, 15:15

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ja, Deine Begründung ist richtig.

Was sind Deine Fragen zum Beweis des Lemmas?

Danke.

Meine Frage ist, wieso neu konstruierte Normalreihe eine Normalreihe ist und wieso sie automatisch auch die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} [G_{i + 1}, G] \le G_i \end{eqnarray*}$ "erben" soll.

06.08.2011, 16:14

zweiundvierzig

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Du meinst die durch $\begin{eqnarray*} G_1 := Z(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_{i + 1} := \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ definerte Folge? Wie verhalten sich denn Normalteiler unter Urbildern von Homomorphismen?

06.08.2011, 18:05

Songuti

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Derartige (zudem noch falsch notierte) ...

Was ist falsch?

marcus

06.08.2011, 18:23

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Du meinst die durch $\begin{eqnarray*} G_1 := Z(G) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G_{i + 1} := \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ definerte Folge? Wie verhalten sich denn Normalteiler unter Urbildern von Homomorphismen?

Ja das gibt wieder eine Normalreihe nach irgendeinem Theorem. Doch warum gilt in dieser dann auch $\begin{eqnarray*} G_{i + 1} := \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ ?

06.08.2011, 18:24

mathinitus

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Zitat:

Original von Songuti
Daraus folgt g^-1 * h * g = H.

Ich denke, das ist falsch.

06.08.2011, 18:50

Songuti

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Zitat:

Original von mathinitus

Zitat:

Original von Songuti
Daraus folgt g^-1 * h * g = H.

Ich denke, das ist falsch.

Wenn für alle h€H und g€ G_(i+1) ghg^-1 €H gilt so ist dies nach einem Lemma für normale Untergruppen äquivalent zu gHg^-1 = H sein.

Marcus

07.08.2011, 22:41

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia
Ja das gibt wieder eine Normalreihe nach irgendeinem Theorem.

Urbilder unter Homomorphismen von Normalteilern sind wieder normal.

Zitat:

Original von svenia
Doch warum gilt in dieser dann auch $\begin{eqnarray*} G_{i + 1} := \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ ?

Da verstehe ich Deine Frage nicht genau. Das ist doch genau die Definition der neuen Normalreihe. Dass $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \le \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ gilt, kannst Du elementar nachrechnen. Betrachte dazu $\begin{eqnarray*} [x,y] = xyx^{-1}y^{-1}\in [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] =: K \end{eqnarray*}$ . Was gilt dann für $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von Songuti
Wenn für alle h€H und g€ G_(i+1) ghg^-1 €H gilt so ist dies nach einem Lemma für normale Untergruppen äquivalent zu gHg^-1 = H sein.

Im Prinzip richtig, aber erstens hattest Du $\begin{eqnarray*} g^{-1} h g = H \end{eqnarray*}$ (!) geschrieben. Und zweitens solltest Du das "normal" in Deiner Aussage streichen. Der betrachtete Fall bedeutet ja gerade, dass die zunächst beliebig gewählte Untergruppe $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ normal ist.

Benutze außerdem bitte Latex, oder zumindest keine fehlerhaft kopierten Sonderzeichen.

08.08.2011, 17:16

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von svenia
Doch warum gilt in dieser dann auch $\begin{eqnarray*} G_{i + 1} := \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ ?

Sorry erstmal ich meinte natürlich, warum $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \le \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \pi([x,y])=xyx^{-1}y^{-1}Z(G) \end{eqnarray*}$ .

08.08.2011, 17:30

zweiundvierzig

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Richtig. Und was gilt für die Nebenklasse $\begin{eqnarray*} xZ(G) \end{eqnarray*}$ ?

08.08.2011, 22:29

svenia

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Ich verstehe das leider nicht.

Ich muss doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_i),G] \le \pi^{-1}(Z_{i-1}) \end{eqnarray*}$ ist. Und dafür irgendwie ausnutzen, dass $\begin{eqnarray*} [Z_{i+1},G/Z(G)]\le Z_i \end{eqnarray*}$ gilt.

Also sei $\begin{eqnarray*} g\in [Z_{i+1},G/Z(G)] \end{eqnarray*}$ und nun?

08.08.2011, 22:48

zweiundvierzig

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Wir haben doch $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ aus einer ganz bestimmten Menge gewählt, nämlich $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \le \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ , insbesondere $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ . Was heißt das nun für $\begin{eqnarray*} \pi(x) = xZ(G) \end{eqnarray*}$ ?

09.08.2011, 09:33

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Wir haben doch $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ aus einer ganz bestimmten Menge gewählt, nämlich $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \le \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ , insbesondere $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ . Was heißt das nun für $\begin{eqnarray*} \pi(x) = xZ(G) \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß leider nicht, worauf du hinaus willst. Ich sehe nicht, welche Eigenschaft von $\begin{eqnarray*} \pi(x) = xZ(G) \end{eqnarray*}$ uns weiter bringt. Auch müssen wir ja nicht jedes Element aus $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ darstellen können für $\begin{eqnarray*} x\in\pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in G \end{eqnarray*}$ .

Vielleicht noch ein Ansatz, der vielleicht etwas bringt: $\begin{eqnarray*} Z_{i+1} \end{eqnarray*}$ kann man für eine bestimmte Untergruppe N von G schreiben als $\begin{eqnarray*} N/Z(G) \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 11:04

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia
Auch müssen wir ja nicht jedes Element aus $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ darstellen können für $\begin{eqnarray*} x\in\pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in G \end{eqnarray*}$ .

Aha, wieso nicht?

Zitat:

Original von svenia
Vielleicht noch ein Ansatz, der vielleicht etwas bringt: $\begin{eqnarray*} Z_{i+1} \end{eqnarray*}$ kann man für eine bestimmte Untergruppe N von G schreiben als $\begin{eqnarray*} N/Z(G) \end{eqnarray*}$ . Ist $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} x\in N \end{eqnarray*}$ .

Worauf möchtest Du damit hinaus?

Geh doch einfach mal auf meinen Ansatz ein. Wo liegt für $\begin{eqnarray*} [x,y] \in [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ das Element $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) \end{eqnarray*}$ ?

09.08.2011, 11:23

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Aha, wieso nicht?

Weil $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ nur von den $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, das heißt, wenn die $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ noch keine Untergruppe bilden, muss ich noch ein paar Elemente hinzunehmen, bis es eine Untergruppe wird. Das sind dann Produkte von Potenzen von $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Ich versuche die ganze Zeit darauf einzugehen, ich will nicht ausweichen, nur scheinbar sehe ich nicht, was du siehst.

$\begin{eqnarray*} \pi([x,y])=xyx^{-1}y^{-1}Z(G) \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 11:58

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia
Weil $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ nur von den $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, das heißt, wenn die $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ noch keine Untergruppe bilden, muss ich noch ein paar Elemente hinzunehmen, bis es eine Untergruppe wird. Das sind dann Produkte von Potenzen von $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt. Aber es genügt im wesentlichen, zu beweisen, dass alle Erzeuger $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ liegen. (Warum?)

Zitat:

Original von svenia
Ich versuche die ganze Zeit darauf einzugehen, ich will nicht ausweichen, nur scheinbar sehe ich nicht, was du siehst.

$\begin{eqnarray*} \pi([x,y])=xyx^{-1}y^{-1}Z(G) \end{eqnarray*}$

Was bedeutet denn die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ ?

09.08.2011, 12:25

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Das stimmt. Aber es genügt im wesentlichen, zu beweisen, dass alle Erzeuger $\begin{eqnarray*} [x,y] \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i + 1}), G] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ liegen. (Warum?)

Weil dann die erzeugte Gruppe auch in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ liegen muss. Die erzeugte Gruppe ist ja der Schnitt aller Untergruppen, die die Erzeuger enthalten, da $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ die Erzeuger enthält, ist diese Gruppe also auch in dem Schnitt drin, damit muss die erzeugte Gruppe Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ sein.

Zitat:

Original von zweiundvierzig
Was bedeutet denn die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x \in \pi^{-1}(Z_{i + 1}) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \pi(x) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \pi(x) \in Z_{i+1} \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 12:48

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia
Weil dann die erzeugte Gruppe auch in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ liegen muss. Die erzeugte Gruppe ist ja der Schnitt aller Untergruppen, die die Erzeuger enthalten, da $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ die Erzeuger enthält, ist diese Gruppe also auch in dem Schnitt drin, damit muss die erzeugte Gruppe Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ sein.

Stimmt an sich, bis auf die etwas unglücklich formulierte markierte Stelle. Da die Erzeuger alle in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_i) \end{eqnarray*}$ liegen, auch die von ihnen erzeugte Untergruppe.

Zitat:

Original von svenia
$\begin{eqnarray*} \pi(x) \in Z_{i+1} \end{eqnarray*}$

Genau. Wo liegt dann $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) \end{eqnarray*}$ ?

09.08.2011, 13:10

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von svenia
$\begin{eqnarray*} \pi(x) \in Z_{i+1} \end{eqnarray*}$

Genau. Wo liegt dann $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) \end{eqnarray*}$ ?

In $\begin{eqnarray*} Z_i \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 13:16

zweiundvierzig

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Ja.

Warum genau?

09.08.2011, 13:19

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ja. smile

Warum genau?

Das weiß ich leider auch nicht, nur brächte uns das zum Ziel, oder?

Vielleicht kann man ja $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i+1}),G] \subset \pi^{-1}([Z_{i+1},G/Z(G)]) \end{eqnarray*}$ zeigen.

09.08.2011, 13:31

zweiundvierzig

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Naja, wo liegt denn zunächst $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) = \pi(xyx^{-1}y^{-1}) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \pi(x) \in Z_{i + 1} \end{eqnarray*}$ ?

09.08.2011, 14:37

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Naja, wo liegt denn zunächst $\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) = \pi(xyx^{-1}y^{-1}) \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} \pi(x) \in Z_{i + 1} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) = \pi(xyx^{-1}y^{-1})=\pi(x)\pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man nun wüsste, dass $\begin{eqnarray*} Z_{i + 1} \end{eqnarray*}$ normal in $\begin{eqnarray*} G/Z(G) \end{eqnarray*}$ liegt, wäre das Produkt natürlich auch in $\begin{eqnarray*} Z_{i + 1} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1} \in Z_{i + 1} \end{eqnarray*}$ aufgrund der Normalität. Aber das muss ja gar nicht sein, von daher weiß ich nicht weiter.

09.08.2011, 14:51

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia
$\begin{eqnarray*} \pi([x,y]) = \pi(xyx^{-1}y^{-1})=\pi(x)\pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1} \end{eqnarray*}$

Hier steht wieder ein Kommutator. In welcher Menge liegt er?

09.08.2011, 14:58

svenia

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Stimmt, das wäre $\begin{eqnarray*} [Z_{i + 1},G(Z(G)] \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 15:00

svenia

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Zitat:

Original von svenia
Stimmt, das wäre $\begin{eqnarray*} [Z_{i + 1},G(Z(G)] \end{eqnarray*}$ .

Ich meinte $\begin{eqnarray*} [Z_{i + 1},G/Z(G)] \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 15:14

zweiundvierzig

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Genau. Und was wissen wir wiederum über diese Gruppe?

09.08.2011, 15:17

svenia

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Sie ist Untergruppe von $\begin{eqnarray*} Z_{i} \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 15:18

zweiundvierzig

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...also?

09.08.2011, 16:15

svenia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
...also?

Also haben wir gezeigt, dass alle Erzeuger von $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i+1}),G] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_{i}) \end{eqnarray*}$ liegen. Damit wären wir wohl fertig.

Vielen Dank für deine Geduld mit mir, zweiundvierzig.

Eine Frage hätte ich aber dennoch. Wie kommt man auf einen solchen Beweis und hat $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ irgendeine spezielle Bedeutung? Wenn $\begin{eqnarray*} H=G \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ ja die kleinste normale Untergruppe von G, die beim Rausteilen einen abelschen Faktor erzeugt. Liegt H normal in G, so kann man sich schnell überlegen, dass $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ Untergruppe von H ist. Doch was ist die allgemeine Bedeutung von $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ ? Sei H nicht normal in G, gilt dann zum Beispiel immer $\begin{eqnarray*} H\le [H,G] \end{eqnarray*}$ ?

10.08.2011, 21:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von svenia

Zitat:

Original von zweiundvierzig
...also?

Also haben wir gezeigt, dass alle Erzeuger von $\begin{eqnarray*} [\pi^{-1}(Z_{i+1}),G] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \pi^{-1}(Z_{i}) \end{eqnarray*}$ liegen. Damit wären wir wohl fertig.

Genau.

Zitat:

Original von svenia
Eine Frage hätte ich aber dennoch. Wie kommt man auf einen solchen Beweis [...]

Hier wurde ja in der Aufgabe ein nichttriviales Lemma verwendet, auf das man nicht unbedingt so von alleine kommt.

Vielleicht ist es aber dieser Thread hilfrieich für Dich.. Hier wird ein Beweis ohne den Auflösbarkeitsbegriff vorgestellt.

Zitat:

Original von svenia
und hat $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ irgendeine spezielle Bedeutung? Wenn $\begin{eqnarray*} H=G \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ ja die kleinste normale Untergruppe von G, die beim Rausteilen einen abelschen Faktor erzeugt. Liegt H normal in G, so kann man sich schnell überlegen, dass $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ Untergruppe von H ist. Doch was ist die allgemeine Bedeutung von $\begin{eqnarray*} [H,G] \end{eqnarray*}$ ?

Die Frage finde ich immer noch sehr allgemein gestellt. Kannst Du sie vielleicht präzisieren?

Zitat:

Original von svenia
Sei H nicht normal in G, gilt dann zum Beispiel immer $\begin{eqnarray*} H\le [H,G] \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehe gerade nicht, wie man das allgemein beantworten kann.

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