Lösung autonomer Differentialgleichung

06.08.2011, 13:37

stevewilson

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Lösung autonomer Differentialgleichung

Hallo,

wie Löse ich solch eine autonome Differentialgleichung?

$\begin{eqnarray*} <br /> x'=(y+1)e^x<br /> y'=x^2+cos y<br /> \end{eqnarray*}$

Mir fällt leider jeglicher Ansatz.

Wenn die sich nicht analytisch lösen lässt, wie bestimme ich dann den Fluss der DGL?

06.08.2011, 13:53

schultz

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RE: Lösung autonomer Differentialgleichung

Zitat:

Original von stevewilson

$\begin{eqnarray*} <br /> x'=(y+1)e^x<br /> \end{eqnarray*}$

soll hier x von y abhängen, als x(y)?
dann kannst du das einfach mit trennung der variablen lösen.

06.08.2011, 13:56

Wetal

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mir ist zwar der begriff "fluss" in dem zusammenhang nicht geläufig, aber wenn es anfangswerte, bzw randwerte gibt, kannst du das numerisch lösen.

06.08.2011, 14:02

stevewilson

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Gibt keine Anfangs- und Randwerte.

Ein Fluss stellt alle Lösungen einer DGL dar, abhängig von einem variablen Anfangswert. Die Def. eines Flusses habe ich hier gepostet:

Flüsse, zeigen dass eine Menge offen in R x R^2 enthalten ist.

Mit Trennung der Variablen probiere ich das mal...

06.08.2011, 14:04

Cel

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Dann stelle ich auch noch eine Frage (leider liegt mein WS über Dynamische Systeme auf Eis, aber vielleicht bekomme ich hierdurch spannende Themen dafür).

Erst mal @schultz: Nein, das ist ein System von DGLs. Die zweite muss mit berücksichtigt werden. Da steht eigentlich immer x(t) und y(t).

@Wetal: Anfangswerte gibt es nicht, der Fluss ist quasi die allgemeine Lösung. Meistens betrachtet man bei Autonomen Systemen den allgemeinen Anfangswert $\begin{eqnarray*} (x(0), y(0)) = (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ .

@stevewilson: Wozu möchtest du den Fluss haben? Was ist die Aufgabe?

06.08.2011, 14:22

stevewilson

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Die Aufgabe ist die gegebene DGL plus der Bedingung:

$\begin{eqnarray*} <br /> D = \left\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : x \geq 0, y \geq 0 \right\} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Frage ist, ob das gilt:

$\begin{eqnarray*} <br /> (x_{0},y_{0}) \in D => \gamma_{+}(x_{0},y_{0}) \subset D<br /> (x_{0},y_{0}) \in D => \gamma_{-}(x_{0},y_{0}) \subset D<br /> \end{eqnarray*}$

Es heißt in der Aufgabe tatsächlich "autonome DGL", obwohl es offensichtlich ein DGL-System ist...

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06.08.2011, 15:04

Cel

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Aaaaaaalso. Dann mal kurz die Philosophie der Autonomen Systeme. Versuche lieber nicht, Flüsse explizit zu berechnen. Es geht nämlich in den allermeisten Fällen nicht. Auch hier nicht. Der Trick: Du brauchst keine Formel des Flusses, um diese Aussagn zu beantworten.

Schritt 1 ist für mich immer, das Richtungsfeld der Fuktion anzugucken. Ich habe dir das Richtungsfeld der Funktion mal geplottet:

[attach]20797[/attach]

So, was ist jetzt deine Vermutung? Welche der Aussagen gilt? Vielleicht beide?

Natürlich ist das noch kein Beweis, aber den werden wir uns danach vornehmen.

Übrigens: Auch ich hatte mal ein ähnlich gelagertes Problem und man kann hier genauso vorgehen. Schau dir mal diesen Thread an:

Instabiler, aber attraktiver Gleichgewichtspunkt (dynamisches System)

06.08.2011, 18:47

stevewilson

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Okay, vielen dank für den Plot. Mit Mathematica erstellt?

Erstmal die Frage, wie kommt man ohne solche Software manuell auf das richtungsfeld? Muss ich dann für jede (x,y)-Koordinate x' und y' ausrechnen. Und die Steigung des Pfeiles ist dann y'/x'?

Alles was in D liegt zeigt nach rechts, Alles was außerhalb von D liegt ist sowohl in Links- als auch Rechtsrichtung...Was kann ich daraus ableiten?

07.08.2011, 12:24

Cel

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Nein, das ist Grapher. Falls du keinen Mac hast (das Programm ist bei jedem dabei), dann würde ich dir Octave empfehlen (oder eben MATLAB). Online gibt es viele Skripte, in denen so ein Richtungsfeld geplottet wird, ist auch nicht schwer, das zu schreiben. Bei Bedarf noch mal nachfragen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Von Hand könntest du das so zeichnen: Du nimmst dir einen Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und setzt in in die rechte Seite ein. Den Vektor zeichnest du dann ein und zwar beginnend von $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ . Beispiel: $\begin{eqnarray*} (1,1) \end{eqnarray*}$ . Wenn ich die rechte Seite mal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ nenne, dann ist $\begin{eqnarray*} f(1,1) = (2e, 1+ \cos(1)) \end{eqnarray*}$ . Beide Komponenten sind größer als Null, deswegen zeigt das Richtungsfeld dort nach rechts oben. OK soweit?

So, was ist jetzt mit dem Flüss? Der Fluss schmiegt sich in das Vektorfeld ein, der Fluss ergibt sich quasi, wenn du die Pfeile zu einer Kurve verbindest. Die Pfeile zeigen an, wie der Fluss fließt. Für steigende t-Werte fließt der Fluss in Richtung der Pfeile.

So, jetzt nimm dir doch mal einen Startpunkt aus D und lass vorwärts und rückwärts fließen, denn genau das heißt es ja $\begin{eqnarray*} \gamma_- \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma_+ \end{eqnarray*}$ zu bilden.

Was passiert? Bleibt man in D?

07.08.2011, 18:05

stevewilson

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Okay, wenn ich vorwärts fließe, bleibe ich in D. Wenn ich rückwärts fließe, wandere ich aus D raus.

Somit gilt die Aussage für gamma+ und nicht für gamma-

Ziemlich einfach wenn man den Plot hat. But what do you do if you don't have it?

Habe grad mal in die Musterlösung von der Mitschrift einer Kommilitonen reingeguckt...

Die machen das so:

***************************************************************************

(i) gamma+

Randsituationen sind zu betrachten.

Situation 1:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ y_{0} \end{pmatrix} => x'(t_{0}) > 0<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> x'(t_{0}) = (y_{0} + 1)*e^0=y_{0}+1<br /> \end{eqnarray*}$

Situation 2:
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} x_{0} \\ 0 \end{pmatrix} => y'(t_{0}) = {x_{0}}^2 + cos(0) = x_{0}^2+1>0<br /> \end{eqnarray*}$ .

(ii) gamma-

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in D => \begin{pmatrix} x'(0) \\ y'(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$ .

(Die Argumente gelten wegen Stetigkeit der Ableitungen)

***************************************************************************

So, warum geht das so? Warum muss ich Randwerte angucken? Könnte es nicht theoretisch
sein, dass eine Lösung auch mitten in D anfängt und dann für gamma+ Rückwärts läuft?

Die Lösung für gamma- verstehe ich gar nicht. Und was hat das alles mit der Stetigkeit der Ableitungen zu tun?

07.08.2011, 19:53

Cel

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Woher kommt denn die Musterlösung? So ganz verstehe ich nämlich auch nicht, warum man sich in den zwei Fällen auf die Achsen einschränkt. Vielleicht sollten wir das erst mal klären.

Ich meine, in Situation 1 zeigen die, dass die x-Komponente wächst. Gut, das brauchen wir ja auch, aber es steht dort nirgends, was die y-Komponente des Flusses macht. Und in Situation 2 fehlt dann das Verhalten von der x-Komponente.

Ich werde mit dir meinen Weg durchgehen, wenn du möchtest. Aber bei dieser Lösung steige ich nicht so ganz durch.

Edit: Moment, es klingelt gerade. Es reicht tatsächlich, den Rand von D anzugucken.
Man weiß, dass auf der x-Achse die y-Komponente wächst. Die x-Komponente wächst sowieso, $\begin{eqnarray*} (y+1)e^x > 0 \end{eqnarray*}$ in D. Das heißt, der Flüss fließt ab da nach rechts oben.

Andererseits wächst auf der y-Achse die x-Komponente, die y-Komponente hingegen fällt manchmal (weit oben auf der x-Achse siehst du das auch an der Zeichnung) und manchmal stiegt sie (weiter unten auf der x-Achse). Zumindest fließt der Fluss nach rechts. Unter die x-Achse kann er aber nicht fallen, denn auf der x-Achse geht es nach rechts oben. Trajektorien können sich im Phasenraum nicht schneiden, deswegen bleiben die Flüsse in D. Deswegen stimmt die erste Aussage.

OK soweit? Für die zweite muss ich noch mal überlegen.

08.08.2011, 15:38

stevewilson

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Hi,

unter der Bedingung, dass sich die Bahnen nicht schneiden können, ist das ganze einleuchtend.

Für das zweite habe ich auch schon eine Idee. Man sucht ein Geegenbeispiel. Man nimmt den Randpunkt (0,0) und zeigt, dass der Pfeil in Richtung (1,1) zeigt. Geht man den Pfeil jetzt rückwärts, so geht man in Richtung (-1,-1). Macht Sinn, oder?

LG

P.S.Kennst du dich eigentlich auch mit partiellen Differentialgleichungen aus? Ich möchte nächstes Semester nämlich noch ein zweites Nebenfach aus der Mathematik belegen. Meine Vorkentnisse umfassen bis dahin: Ana 1 und 2, LA 1, Gewöhnliche DGL. Wäre jetzt die Frage, ob man damit "Partielle Differentialgleichungen" oder "Numerik Partieller Differentialgleichungen" belegen könnte. Was sagst du dazu?

08.08.2011, 18:37

Cel

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Genau so sehe ich das auch. Freude

Freude

Was für ein Zufall, dass ich dieses Semester (teilweise) Partielle DGL gehört habe.

Meine Meinung: kritisch. Für PDGL braucht man den Satz von Gauß, eigentlich Thema von Ana III. Oder hattest du den?

08.08.2011, 18:49

stevewilson

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Ne, hatte ich nicht. Aber ich könnte kommendes Semester mich in Ana III setzen und darauf aufbauend im folgenden Semester vielleicht partielle DGL machen. Meinst du man bräuchte vielleicht noch LA 2 und Numerik?

08.08.2011, 18:52

Cel

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Eher nicht, nein.

Falls du weitere Fragen hast, dann schreib mir eine PN, ich beantworte deine Fragen gerne. So werden wir aber zu sehr Off-Topic.

09.08.2011, 11:56

stevewilson

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Es kommen vielleicht noch Fragen bei mir auf, die ich dann per PN an dich schicke.

Noch eine Frage zu Octave, das habe ich jetzt nämlich installiert.

Hier ist nen Skript für Vektorfelder:

http://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsfeld

Leider ist die Eingabe eine einzige DGL. Weißt du wie ich das Skript oder den Aufruf ändere, damit ich zwei DGLs eingeben kann, so wie wir sie z.B. hier in diesem Bsp. haben?

09.08.2011, 20:21

Cel

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Dieses Beispiel kannst du nur für skalare Gleichungen nutzen. Hier eignet sich so was:

code:
1: 2: 3: 4: 5:	[x y] = meshgrid(-2:.2:2, -2:.2:2); xdot = (y+1).*e.^x; ydot = x.^2 + cos(y); quiver(x,y,xdot,ydot,3); grid

Die 3 bei quiver stellt einen Skalierungsfaktor ein, spiel damit mal ein wenig rum und zoome das Ausgabefenster mal.

09.08.2011, 21:00

stevewilson

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Ich versuche mich mit der Funktion:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7:	[x y] = meshgrid(-4:.2:4, -4:.2:4); xdot = sin(x/2); ydot = y*(1-y); quiver(x,y,xdot,ydot,0.01); grid

Egal, welchen Wert ich bei Quiver einsetze, ich erhalte kein schönes Bild. Oder nicht das was ich erwarte.

Würdest du das einmal für mich plotten?

09.08.2011, 21:31

Cel

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Also, das mit dem schönen Bild sehe ich auch so. Die sind nicht wirklich schön. Keine Ahnung, ob Mathematica, MATLAB oder Maple komfortabler sind, aber das kostet ja auch einiges.

Jedenfalls, hier mein Plot.
[attach]20809[/attach]

Edit: Die zugehörige DGL ist diese:

$\begin{eqnarray*} \begin{cases}x'=(y+1)e^x \\ y'=x^2+\cos y \end{cases}<br /> \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 21:39

stevewilson

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Kannst du die untere Achse auch von -3 bis 10 laufen lassen?

10.08.2011, 00:03

Cel

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Ich mach mich da noch mal morgen dran. Dieses Vektorfeld ist übrigens das für die erste DGL, also für das, was ich auch schon mit Grapher gemacht habe. Sieht man ja auch ganz gut.

Edit: Erneut hochgeladen, in einem schönen Bereich.

10.08.2011, 01:04

stevewilson

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OK, das heißt für die Aufgabe hier wirst du auch noch mal plotten lassen?

Phasenportrait eines Flusses in Polarkoordinaten

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