Vortrag, 29 Personen/30 Plätze

06.08.2011, 15:18

migu89

Vortrag, 29 Personen/30 Plätze

Aufgabenstellung:

An einem Vortrag gibt es für die Zuhörer drei Reihen von je 10 Plätzen. Von den 29 Zuhörern möchten fünf in der ersten Reihe Sitzen, da sie sonst die Folien nicht lesen können. Acht weitere Zuhörer möchten sicher nicht in der letzten Reihe sitzen, da sie sonst schlecht verstehen würden. Wie viele Möglichkeiten gibt es, die 29 Zuhörer auf die 30 Plätze zu verteilen, dass alle zufrieden sind?

Mein Lösungsansatz:

- Zuerst verteilen wir die 5 Personen, die in der ersten Reihe sitzen wollen. Dazu gibt es

$\begin{eqnarray*} ~\binom {10}{5} Moeglichkeiten. \end{eqnarray*}$

- Jetzt kommen die 8, die nicht zuhinterst sitzen wollen. Die können wir noch auf 15 Plätze verteilen, da in der vordersten Reihe schon 5 Plätze besetzt sind. Also

$\begin{eqnarray*} ~\binom {15}{8} Moeglichkeiten. \end{eqnarray*}$

- Die restlichen 16 Personen können wir noch auf 17 Plätze verteilen, also
$\begin{eqnarray*} ~\binom {17}{16} Moeglichkeiten. \end{eqnarray*}$

Die Anzahl Möglichkeiten ist nun
$\begin{eqnarray*} ~\binom {10}{5} + ~\binom {15}{8} + ~\binom {17}{16} Moeglichkeiten. \end{eqnarray*}$

Stimmt das, ich habe dabei ein ganz mulmiges Gefühl verwirrt

06.08.2011, 17:56

frank09

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RE: Vortrag, 29 Personen/30 Plätze
Die einzelnen Möglichkeiten sind nicht ganz richtig berechnet, weil es auf den einzelnen Platz ankommt. D.h. wenn in der 1.Reihe Person 1 auf Platz 4 und Person 2 auf Platz 6 sitzen würde, wäre das eine andere Verteilung als Pers 1 auf Platz 6 und Pers 2 auf Platz 4. In diesem Fall hättest du für die fünf in Reihe 1
$\begin{eqnarray*} 10\cdot 9\cdot8\cdot7\cdot6 \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten, etc.

Und um auf die Gesamtzahl zu kommen, musst du die einzelnen Möglichkeiten multiplizieren und nicht addieren. Du erhältst ja immer ein neue Sitzverteilung, selbst wenn du die fünf in der 1.Reihe und die acht in Reihe 1 und 2 unverändert sitzen lässt und nur die restlichen Leute umsetzt.

06.08.2011, 18:08

migu89

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Ah, klar, leuchtet mir ein! smile

Vielen Dank!

06.08.2011, 18:36

migu89

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RE: Vortrag, 29 Personen/30 Plätze
Also noch mals kurz zum mitschreiben...

Die einzelnen Möglichkeiten sind:

Die ersten 5 in Reihe eins

$\begin{eqnarray*} 10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5 \end{eqnarray*}$

Die 8 in Reihe eins und zwei sind dann

$\begin{eqnarray*} 15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8 \end{eqnarray*}$

Und die letzten 16

$\begin{eqnarray*} 17\cdot16\cdot...\cdot3\cdot2 \end{eqnarray*}$

Und die Zwischenergebnise dann noch miteinander Multiplizieren?

Edit: Also ist die Formel die zu gebrauchen ist, die Variante "Ohne zurücklegen" & "Mit beachtung der Reihenfolge"??

$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 19:26

frank09

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RE: Vortrag, 29 Personen/30 Plätze

Zitat:

Also ist die Formel die zu gebrauchen ist, die Variante "Ohne zurücklegen" & "Mit beachtung der Reihenfolge"??

Genau, man kann sich das so vorstellen:
Alle Personen werden von 1-29 durchnummeriert. Dann zieht man für jeden den entsprechenden Platz aus Urnen, die mit den Plätzen "bestückt" sind, die für die jeweilige Person in Frage kommen.

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