untervektorräume

18.12.2006, 18:22

ravemaedchen

untervektorräume

hi,

hab eine frage zu folgender aufgabe:

sei K ein unendlicher Körper, $\begin{eqnarray*} 1 \leq n \in IN \end{eqnarray*}$ , V ein K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} U_1, ..., U_n \subsetneqq V \end{eqnarray*}$ Untervektorräume.
Zeige: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup ... \cup U_n \subsetneqq V \end{eqnarray*}$ .

mir erscheint das einfach, das macht mich stutzig...=)

mein denkansatz:
V ist wegen K=unendlich ein unendlicher Vektorraum.
Wegen $\begin{eqnarray*} U_1, ..., U_n \subsetneqq V \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} U_1, ..., U_n \end{eqnarray*}$ endliche Untervektorräume.
die vereinigung endlicher vektorräume kann nie einen unendlichen vektorraum ergeben.

ist da der ansatz schon falsch?

bitte klärt mich auf, ich würds ja echt gern verstehn...=)

lg

18.12.2006, 18:28

Mathespezialschüler

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Für $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ besitzt der Untervektorraum $\begin{eqnarray*} U=\{(x,0)\in\mathbb R^2\ |\ x\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ ebenfalls unendlich viele Elemente.
Zeige einfach, dass für zwei echte UVR $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$ die Menge $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ kein UVR sein kann, falls weder $\begin{eqnarray*} U_1\subset U_2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} U_2\subset U_1 \end{eqnarray*}$ gilt. Damit kann $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2=V \end{eqnarray*}$ nicht möglich sein.

Gruß MSS

18.12.2006, 18:30

arya2792

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RE: untervektorräume
Also bzgl deines Ansatzes.

Es gibt schon unendliche UVR, die nicht identisch mit dem Ursprünglichen VR sind. Halt UVR mit 'ner kleineren Dimension.

z.B VR ist der R^3 und der UVR ist 'ne Fläche durch den Ursprung.

18.12.2006, 18:33

arya2792

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Zeige einfach, dass für zwei echte UVR $\begin{eqnarray*} U_1,U_2 \end{eqnarray*}$
Gruß MSS

Was sind 'n echte UVR?

18.12.2006, 18:35

Mathespezialschüler

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Naja, $\begin{eqnarray*} U_1\subset V \end{eqnarray*}$ ist echter UVR von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} U_1\subsetneqq V \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} U_1\neq V \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß MSS

18.12.2006, 19:51

ravemaedchen

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oke, ich hab jetzt mal so weit:

zz: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist kein UVR

sei $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \setminus U_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ .

dann gilt: $\begin{eqnarray*} (x+y) \in U_1 \end{eqnarray*}$ aber es gilt nicht für alle $\begin{eqnarray*} x, y \in U_1\cup U_2 : (x+y) \in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ .

also gilt für $\begin{eqnarray*} U_1 \not\subset U_2 \end{eqnarray*}$ (bzw andersrum) $\begin{eqnarray*} (x+y) \in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ nur dann, wenn $\begin{eqnarray*} x, y \in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ .

damit ist $\begin{eqnarray*} U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ (bzw. andersrum) kein UVR und damit gilt: $\begin{eqnarray*} U_1 \cup ... \cup U_n \subsetneqq V \end{eqnarray*}$ .

wenn aber gilt $\begin{eqnarray*} U_1 \subset U_2 \end{eqnarray*}$ (bzw andersrum), dann ist $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 = U_2 \subsetneqq V \end{eqnarray*}$ .

falls das stimmen sollte, kann ich das dann auch so für U_1 ... U_n übernehmen?

18.12.2006, 22:13

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ravemaedchen
sei $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \setminus U_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ .

dann gilt: $\begin{eqnarray*} (x+y) \in U_1 \end{eqnarray*}$ aber es gilt nicht für alle $\begin{eqnarray*} x, y \in U_1\cup U_2 : (x+y) \in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ .

Das müsstest du noch weiter begründen.

Zitat:

Original von ravemaedchen
falls das stimmen sollte, kann ich das dann auch so für U_1 ... U_n übernehmen?

Naja, da kannst du dann eine einfache Induktion machen.

Gruß MSS

20.12.2006, 16:21

ravemaedchen

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hi,

nach einem mathefreien tag sitze ich nun wieder über der aufgabe und überlege, wie ich das noch genauer zeigen soll.

ich hab ja als grundlage meines beweises genommen, dass bei einem unterraum die summe zwei seiner elemente wieder im UR enthalten sein muss.

wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \setminus U_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ wähle, dann gilt $\begin{eqnarray*} (x+y) \in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in U_1\cup U_2 \setminus U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ NICHT.

damit ist ein UR-kriterium nicht erfüllt (falls der eine UR nicht teilnmenge vom anderen ist) und u_1 + u_2 = V kann nicht gelten.

ist das nicht klar genug? was müsste ich noch zeigen oder erklären?

20.12.2006, 16:26

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von ravemaedchen
wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} x \in U_1 \setminus U_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \in U_1 \cap U_2 \end{eqnarray*}$ wähle, dann gilt $\begin{eqnarray*} (x+y) \in U_1\cup U_2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in U_1\cup U_2 \setminus U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ NICHT.

Das mit dem $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ macht irgendwie keinen Sinn.

Gruß MSS

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