f(x)=f´(x); f(x)/e^x

18.12.2006, 18:29

Dorika

f(x)=f´(x); f(x)/e^x

Halloooo
Es sei f eine Funktion mit der Definitionsmenge $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und der Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x)=f`(x) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .
1. Zeigen Sie, dass der Quotient $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{e^x} \end{eqnarray*}$ die Ableitung 0 für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

zu 1:
Ok, demnach muss $\begin{eqnarray*} f`(x)=0 \end{eqnarray*}$ und somit auch $\begin{eqnarray*} f(x) =0 \end{eqnarray*}$ sein, damit die og Bedingung erfüllt wird.
Aber das ist dumm. Kann mir jemand die Aufgabenstellung erklären, falls ich sie falsch verstanden hab?
und mein gemeiner ml quält uns böse

18.12.2006, 18:32

Lazarus

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wieso muss f'(x)=0 gelten ?

das stimmt nicht.

Im Endeffekt läufts darauf hinnaus, zu zeigen das exp(x) die einzige funktion über R ist die gleich ihrer Ableitung ist.
Du kannst es sogar rumdrehen:
Beweise das e^x sich selbst reproduziert dann folgt die obengenannte eigenschaft aus der bdingung.

18.12.2006, 18:32

tigerbine

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RE: f(x)=f´(x); f(x)/e^x
Was ist den das %??

18.12.2006, 18:44

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Weil sie ` auf der Tastatur statt ' eingeben hat.
Also, das falsche Apostroph wird von $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ nicht verstanden.

18.12.2006, 18:47

tigerbine

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Wie gut das wir hier einen Ermittlungsexperten an Board haben Augenzwinkern

18.12.2006, 18:56

Dorika

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also praktisch gesehen, dass $\begin{eqnarray*} h(x)=\frac{f(x)}{e^x}=g'(x) \end{eqnarray*}$
den beweis, dass die e-fkt gleich ihrer ableitungen und stammfunktionen ist hatten wir schon im unterricht.
Aber was genau ist jetzt mit dem Quotienten und dessen abl =0 gemeint?
tut mir leid, hab das noch nich verstanden... unglücklich

18.12.2006, 19:02

tigerbine

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Die Frage war doch, was ist die Ableitung h' von der Funktion h

$\begin{eqnarray*} h(x):=\frac{f(x)}{e^x} \end{eqnarray*}$

Mit dem Wissen:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (e^x)'=e^x \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} h'(x) = \frac{f'(x)\cdot e^x - f(x) \cdot (e^x)'}{(e^x)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

oder?

18.12.2006, 19:19

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Das was tigerbine hat, ist richtig so, denn es gilt ja

f(x)=f'(x) und somit ist es Null im Zähler ( und damit das Komplex)

18.12.2006, 19:21

Dorika

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stimmt. muss blödheit schmerzen...
somit ist klar, dass der zähler null wird und wenn man null durch etwas teil wird der bruch gleich null

18.12.2006, 19:22

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18.12.2006, 19:39

Dorika

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2. was folgt daraus für [f(x)]/e^x und schl für f(x)?

na super, ich denke mal,dass ihre 1. abl=0 ist.... und somit f(x)=0 ist

18.12.2006, 19:43

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Die Frage ist beantwortet.
f(x) kann alles mögliche sein (z.B. auch $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ ), doch das ist hier nicht mehr gefragt

18.12.2006, 19:48

Dorika

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also passt das? na super, danke Mit Zunge

19.12.2006, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dorika
2. was folgt daraus für [f(x)]/e^x und schl für f(x)?

na super, ich denke mal,dass ihre 1. abl=0 ist.... und somit f(x)=0 ist

Worauf bezieht sich das "ihre 1. abl=0 ist"? Auf f(x) ?. Aus f'(x)=0 folgt aber nicht, daß f(x)=0 ist. Also fassen wir zusammen:

Du hast $\begin{eqnarray*} h(x) := \frac{f(x)}{e^x} \end{eqnarray*}$ und h'(x)=0. Bei welchen Funktionen ist die Ableitung stets Null?

Zitat:

Original von PG
f(x) kann alles mögliche sein (z.B. auch $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ ),

Was verstehst du unter "f(x) kann alles mögliche sein"? Es kommen natürlich nur Funktionen in Frage, wo f(x)=f'(x) ist.

19.12.2006, 13:26

Lazarus

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Streng genommen kommen alle Funktionen in Frage für die ein $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert sodass gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)=c\cdot f(x) \end{eqnarray*}$

19.12.2006, 13:43

klarsoweit

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Hmm.

Auch das ist es nicht. Denn für c<>1 wäre dann ja nicht die Eigenschaft f(x)=f'(x) erfüllt.

19.12.2006, 14:07

Lazarus

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*g*
Ja, es war anders gemeint:
Selbst wenn die Bedinungung wäre das es bis auf eine multiplikative Konstante gleich wäre, würde die Aussage $\begin{eqnarray*} h'(x)=0 \end{eqnarray*}$ wäre stimmen.

Der Grund warum ich explizit darauf hingewiesen habe, das es auch so möglich ist, ist folgender das oben fälschlich davon asugeganngen wurde das $\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Der Punkt ist allerdings der, das sich aus $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{e^x} \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ wegkürzen sollte und lediglich eine konstante Funktion übrigbleibt.

Ob das nun $\begin{eqnarray*} h(x)=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} h(x)=c \end{eqnarray*}$ ist, ist letzlich ja egal, da lediglich die Ableitung $\begin{eqnarray*} h'(x) \end{eqnarray*}$ von interesse ist.

Da das wie ich finde vorher nicht ganz rausgekommen ist, wollte ich das nochmal deutlich herrausstellen.
Sorry falls das missverständlich war.

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f(x)=f´(x); f(x)/e^x

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