ableiten von x^x^(1/x)

06.08.2011, 19:18

QuaterMain

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ableiten von x^x^(1/x)

Meine Frage:
ich verzweifle hier gerade an folgender Ableitung:

$\begin{eqnarray*} x^{x^{\frac{1}{x} } } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} <br /> y = x^{x^{\frac{1}{x} } } <br /> <br /> ln(y) = x^{\frac{1}{x} } * ln(x )<br /> <br /> ln(ln(y)) = \frac{1}{x} * ln(x * ln(x ))<br /> \end{eqnarray*}$
bin ich auf dem richtigen weg ?

06.08.2011, 19:24

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
(verdaxxt, wollte editieren und nicht mir selber antworten)
beim differenzieren würde ich dann folgendes bekommen:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{y'}{y} * \frac{1}{ln(x)} =\frac{-1}{x^{2}}* ln(x *ln(x )) + \frac{1}{x} * (1*ln(x) + \frac{1}{x} *\frac{1}{ln(x)}) \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 19:55

mathinitus

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
Schreib mal $\begin{eqnarray*} x^{x^{\frac{1}{x} } } \end{eqnarray*}$ mit der Definition von Potenzen (über die Exponentialfunktion). Außerdem soll in deiner Aufgabe wohl x>0 sein, sonst ist das alles nicht recht definiert.

06.08.2011, 20:01

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
ja, der Definitionsbereich ist für x>0 definiert
mir geht es im grunde um die korrekte Differenzierung

Ich bin mir mit meinem schritt nicht sicher verwirrt

verwirrt

06.08.2011, 20:15

migu89

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
Da würde ich gerne genauer nachfragen. Kann man nicht zuerst vereinfachen?

$\begin{eqnarray*} (x^{x})^{\frac{1}{x}} = x^{(x\cdot \frac{1}{x})} = x^{1} = x &\forall x > 0 \end{eqnarray*}$

Und x abzuleiten wäre dann nicht mehr so schwer. Oder lieg ich da jetzt total falsch...?

06.08.2011, 20:25

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
das war mir auch in den sinn gekommen aber die richtige schreibeise der funktion ist x^Xtewurzel(x) was äquivalent zu der $\begin{eqnarray*} x^{x^{\frac{1}{x}}} \end{eqnarray*}$ ist... das würde doch irgendwie dir fkt verfälschen... unglücklich

unglücklich

verwirrt

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06.08.2011, 20:29

Dopap

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$\begin{eqnarray*} a^{b^c} \end{eqnarray*}$

ist so zu lesen:

$\begin{eqnarray*} a^{(b^c)} \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 20:41

QuaterMain

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mein Taschenrechner spuckt aber ein andere ergebnis raus... es ist definitiv nicht $\begin{eqnarray*} x^{\frac{x}{x}} = x^{1} \end{eqnarray*}$ was differenziert 1 ergeben würde

Der dopap hat es richtig erfasst mit der klammerung beschrieben

06.08.2011, 21:13

Dopap

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RE: ableiten von x^x^(1/x)

Zitat:

Original von QuaterMain
$\begin{eqnarray*} y = x^{x^{\frac{1}{x} } } <br /> <br /> ln(y) = x^{\frac{1}{x} } * ln(x ) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig.
$\begin{eqnarray*} u(x)=x^{\frac 1 x } \end{eqnarray*}$ substituieren
Das jetzt ableiten und die Produktregel(!) anwenden, und die Ableitung erst mal als $\begin{eqnarray*} u'(x) \end{eqnarray*}$

stehen lassen.
Darum kannst du dich später kümmern.

06.08.2011, 21:15

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
das schaut gut aus :wink

mein aktuelles ergebnis :

$\begin{eqnarray*} <br /> (\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*ln(x) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x} =<br /> \end{eqnarray*}$

edit:
meine ableitung ist nicht korrekt... Forum Kloppe

Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} <br /> (((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*ln(x) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x} )) * y<br /> \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 21:34

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
$\begin{eqnarray*} <br /> (((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*ln(x) + \frac{x^{\frac{1}{x}}}{x} )) * y<br /> \end{eqnarray*}$

ich bin so vergegangen wie du vorgeschlagen hast. mit der substitution und der produkregerl erhalte ich irgendwann
$\begin{eqnarray*} <br /> u' * ln(x) + \frac{u}{x}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

dann diffrenziere ich die subst. u' = .... und erhalte
$\begin{eqnarray*} <br /> ((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*ln(x)<br /> \end{eqnarray*}$

... bin verwirrt... unglücklich

unglücklich

edit2:
habe so eben die zeichen grenze des casio fx 911es entdeckt... verdammt... LOL Hammer

LOL Hammer

müsste ich nicht noch einmal folgendes rechnen ?

$\begin{eqnarray*} <br /> ((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*ln(x)*u<br /> \end{eqnarray*}$

???

06.08.2011, 21:48

Dopap

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RE: ableiten von x^x^(1/x)

Zitat:

Original von QuaterMain
$\begin{eqnarray*} <br /> u' * ln(x) + \frac{u}{x} \end{eqnarray*}$

na, das ist doch schon mal was!

Zitat:

dann diffrenziere ich die subst. u' = .... und erhalte...

nicht alles auf einmal. Was ist nun u'(x) ?

06.08.2011, 21:49

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
$\begin{eqnarray*} <br /> ((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*u<br /> \end{eqnarray*}$

06.08.2011, 22:09

Dopap

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RE: ableiten von x^x^(1/x)

Zitat:

Original von QuaterMain
$\begin{eqnarray*} <br /> ((\frac{-1}{x^2} * ln(x) + \frac{1}{x^2})*u<br /> \end{eqnarray*}$

das sollte kein u(x) mehr enthalten, demnach

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \frac {(1-\ln (x) ) x^{\frac 1 x}}{x^2} \end{eqnarray*}$

und das nun in $\begin{eqnarray*} \frac {y'(x)}{y(x) }= .... \end{eqnarray*}$

eingesetzt.

06.08.2011, 22:13

QuaterMain

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RE: ableiten von x^x^(1/x)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u'(x) = \frac {(1-\ln (x) ) x^{\frac 1 x}}{x^2} \end{eqnarray*}$

das war auch mit (... ) * u gemeint smile

smile

dann hab ich's verstanden !!! Prost

Prost

Herzlichen Dank !!!!!!

ich bin erstaml nicht auf die substitution gekommen,.. Tanzen

Tanzen

06.08.2011, 22:29

Dopap

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RE: ableiten von x^x^(1/x)
die Substitution muss man nicht machen, aber man behält dann eher den Überblick Augenzwinkern

Augenzwinkern

und weil es so schön aussieht:

$\begin{eqnarray*} y'(x)= x^{x^{\frac 1 x}}\cdot x^{\frac 1 x}\cdot(\frac {ln(x)+x-ln(x)^2}{x^2}) \end{eqnarray*}$

könnte man evtl. noch schöner schreiben. Wink

Wink

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