Natürlicher Logarithmus mit komplexen Zahlen

06.08.2011, 19:20

Rafael

Natürlicher Logarithmus mit komplexen Zahlen

Hallo.

Wie berechne ich folgendes: $\begin{eqnarray*} ln(1+i) \end{eqnarray*}$ ? Beziehungsweise wie bringe ich diesen ln in die Grundform: x+yi?

mfg

06.08.2011, 19:32

mathinitus

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Du suchst ja eine Zahl z, so dass $\begin{eqnarray*} e^z=1+i \end{eqnarray*}$ . Der komplexe Anteil von z dreht die Sache ja um den Ursprung und der reelle gibt an, wie weit die Sache betragsmäßig von der 1 entfernt ist. Damit sollte man es schnell haben.

06.08.2011, 19:51

Rafael

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aha... hm. Wie sieht dann die Rechnung aus?

06.08.2011, 20:03

mathinitus

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Zitat:

Original von Rafael
aha... hm. Wie sieht dann die Rechnung aus?

Ich denke aber, das ist Analysis und keine Algebra.

Viel gerechnet werden muss da nicht. $\begin{eqnarray*} |1+i|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und eine achtel Drehung sind $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ . Das wusstest du doch selbst, oder?

09.08.2011, 02:08

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \ln (r e^{i \varphi}) = \ln r + i \varphi \end{eqnarray*}$

mY+

09.08.2011, 10:35

jester.

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Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} \ln (r e^{i \varphi}) = \ln r + i \varphi \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ -periodisch ist, sollte man das $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ jedoch irgendwie einschränken. Man erhält sonst seltsame Gleichungen wie etwa $\begin{eqnarray*} 0=\ln(1\cdot e^{i \cdot 0}) = \ln(1\cdot e^{i \cdot 2\pi})=i\cdot 2\pi \end{eqnarray*}$ - dieses $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ ist also ohne die Einschränkung gar keine Funktion.

Die übliche Vorgehensweise der Funktionentheorie ist folgende. Man definiert eine Funktion $\begin{eqnarray*} {\rm Arg} ~:~\mathbb{C}\to (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ - den sogenannten Hauptzweig des Arguments - die den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ unter Ausnutzung der $\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$ -Periodizität der Exponentialfunktion im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ angibt.
Damit definiert man dann $\begin{eqnarray*} {\rm Log} ~:~ \mathbb{C}\to\mathbb{C}, ~ z \mapsto \ln |z| + i {\rm Arg}(z) \end{eqnarray*}$ , den Hauptzweig des Logarithmus.
Mit dieser Wahl erhält man nicht nur eine Funktion, sondern sogar eine, die auf der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}-\{z \in \mathbb{R} ~|~ z\leq 0\} \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar (holomorph) ist.

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