Fourierreihe für f(x)=x*cos(x)

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07.08.2011, 11:41	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
*Fourierreihe für f(x)=xcos(x) Meine Frage:** Hallo, ich hätte dann mal ne frage zur Fourierreihenentwicklung für f(x)=xcos(x). Meine Ideen:* Also den Vorgang kenne ich so in etwa, also x ist ja ungerade und cos(x) ist gerade. Produkt von geraden und ungerade gibt ungerade; somit ist $\begin{eqnarray} f(x)=xcos(x) \end{eqnarray}$ eine Ungerade funktion. Daraus folgt ich muss nur Bn ausrechnen da An=0 ist. Also: $\begin{eqnarray} 2/\pi \int_0^\pi \! xcos(x)cos(rx) \, dx \end{eqnarray}$ Meine Frage lautet: muss ich jetzt echt diesen unglaublichen integral lösen, ( was meiner Meinung nach auch unmöglich so in einer 1:30 Stunden Klausur kommen kann.) oder gibs einen Shortcut bzw unformung die ich jetzt nicht sehe? Ich hab nämlich probiert dieses Integral zu lösen, oder es umzuformen komme aber nie aufs Ergebnis von Wolframalpha Danke Vielmals Rik
07.08.2011, 16:56	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Fourierreihe für f(x)=xcos(x)** Ich merk schon Fourierreihen sind nicht nur mir unangenehm Rik
07.08.2011, 18:05	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Fourierreihe für f(x)=xcos(x)** Das was du da ausrechenen willst, sieht sehr nach An, wleches laut dir 0 sein sollte, nicht nach Bn.
07.08.2011, 18:10	Rik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja du hast recht ich muss das mit sin(rx) multiplizieren. was würdes du mir dann raten: substitution und dann partielle integrtion? geht sowas?
07.08.2011, 18:29	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal trigonometrische Formeln anwenden und vereinfachen $\begin{eqnarray} \sin x \; \cos y = \frac{1}{2}\Big(\sin (x-y) + \sin (x+y)\Big) \end{eqnarray}$ dann kann man z.B. mit partieller Integration weitermachen.
17.08.2016, 11:21	capo84	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste auch so gehen, indem man direkt partiell integriert und ausnutzt, dass für natürliche Zahlen m,n gilt: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{2\pi}~cos(mx)sin(nx)~dx = 0 \end{eqnarray}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray} \int\limits_{0}^{2\pi}~xcos(x)sin(nx)~dx \end{eqnarray}$ (partielle Integration liefert) $\begin{eqnarray} = [2\picos(2\pi)(-\frac{cos(n2\pi)}{n})-0cos(0)(-\frac{cos(n0)}{n})]- \int\limits_{0}^{2\pi}~-sin(x)(-\frac{cos(nx)}{n})~dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = -\frac{2\pi}{n}-\frac{1}{n}\int\limits_{0}^{2\pi}~sin(x)cos(nx)~dx \end{eqnarray}$ (mit oben erwähntem Satz folgt) $\begin{eqnarray} = -\frac{2\pi}{n}-0 = -\frac{2\pi}{n} \end{eqnarray}$ . Das kann man jetzt einsetzten , kürzen und ist fertig. MfG
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09.09.2016, 19:47	capo84	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ist mir ein Fehler unterlaufen...Obiges funktioniert nicht!
09.09.2016, 21:32	capo84	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mal jemand nachrechnen bitte Ich habe das jetzt hin und her gerechnet und bekomme als Ergebnis heraus: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2} \cdot \sin(x)+ \sum\limits_{n=2}^{\infty } - \frac{n}{n^{2}-1 }\cdot \sin(nx) \end{eqnarray}$ In der Literatur und auf im Internet gefundenen Lösungsblättern kursieren diverse unterschiedliche Lösungen. Der Heuser sagt es käme heraus: $\begin{eqnarray} - \frac{1}{2}\cdot \sin(x) + \sum\limits_{n=2}^{\infty } (-1)^{n} \frac{n}{n^{2}-1 }\cdot \sin(nx) \end{eqnarray}$ Mir ist nicht klar, woher die $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ kommen könnten, sollte die Lösung richtig sein. Ich habe den Tip von RMN verwendet. Vielleicht kann mir jemand helfen. MfG
09.09.2016, 23:47	capo84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kann mal jemand nachrechnen bitte also nochmal im Detail, falls das eher motiviert: $\begin{eqnarray} b_{n}= \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} \! x\cos(x)\sin(nx) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \pib_{n}=\int_{0}^{2\pi} \! x\cos(x)\sin(nx) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\int_{0}^{2\pi} \! x\frac{1}{2} (\sin(nx-x)+\sin(nx+x)) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow 2\pib_{n}=\int_{0}^{2\pi} \! x\sin(nx-x) \, dx + \int_{0}^{2\pi} \! x\sin(nx+x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! x\sin(nx-x) \, dx =\left[-\frac{cos((n-1)x)}{n-1} \right]_{0}^{2\pi} - \int_{0}^{2\pi} \! -\frac{cos((n-1)x)}{n-1}\, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac {- 2\pi\cdot \cos((n-1)2\pi)} {n-1}+ \frac{1}{n-1}\int_{0}^{2\pi} \! cos((n-1)x) \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-2\pi}{n-1} +\frac{1}{n-1} \left[\frac {\sin((n-1)x)} {n-1}\right]_{0}^{2\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{-2\pi}{n-1}=\frac {-2n}{n^{2}-1} \end{eqnarray}$ Analog erhält man: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! x\sin(nx+x) \, dx = \frac{-2\pi}{n+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow b_{n}=\frac{-1}{n-1}+\frac{-1}{n+1}=\frac{-2n}{n^{2}-1} \end{eqnarray}$ für n größer 1.
10.09.2016, 10:45	capo84	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe richtig gerechnet, aber das Intervall, das f(x) = xcos(x) definiert, wurde in der Aufgabenstellung $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi) \end{eqnarray}$ gesetzt. Daher muss man auch über diesem Intervall integrieren und nicht wie geschehen auf $\begin{eqnarray} [0,2\pi] \end{eqnarray}$ . Puh...

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