e-Funktion analysieren

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07.08.2011, 11:13	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
e-Funktion analysieren Meine Frage: Hey, Aufgabe ist: Eine Firma produziert einen neuen MP3-Player. Marktanalysen haben ergeben, dass die wöchentlichen Verkaufszahlen durch die Funktion f mit f(t) = 1000te^(-0,1t) ; t>-0 modellhaft beschrieben werden können (t in Wochen nach Verkaufsbeginn; f(t) in Stückzahl pro Woche). a.) Mit wie vielen verkauften MP3-Playern kann die Firma im Laufe der ersten 6 Monate rechnen? b.) Zeigen Sie, dass die Funktion V mit V(t) = 10^5 - 10^4 (10+t) e^(-0,1t) ; t>-0 in dem Modell die Gesamtzahl der nach t Wochen verkauften MP3-Player beschriebt. c.) Wie viele MP3-Player müssen zum Verkaufsstart bereits produziert sein, damit zu jedem Zeitpunkt genügend Geräte zum Verkauf bereit stehen? Wann muss die Firma deshalb mit der Produktion beginnen? d) Bei Verkaufsbeginn hat die Firma 10.000 Geräte hergestellt. Ferner hat sie festgelegt, dass die Produktion des Players dann eingestellt wird, wenn zu erwarten ist, dass insgesammt noch 10.000 Player verkauft werden können. Wann ist dieser Zeitpunkt erreicht? Wie viele Geräte bleiben dann Verkauft? Würde mich echt über Hilfe freuen.. Meine Ideen: Also a.) ist klar: Integral von 0 bis 24 ergibt 69155,896 Player. b.) Die Formel stellt einen Ersatz zum Integral dar. Wenn f(t) den Verkauf in der Woche Nr. t beschreibt, V(t) den Verkauf bis Woche Nr. t. Dann müsste doch f(t) die Differenz aus V(t) und V(t-1) sein oder? Aber wie komm ich dann andersrum darauf wie sich V(t) aus f ergibt?? c.) Irgendwie muss man dazu doch wissen wie schnell die Firma dann nach Verkaufsbeginn weiter produziert oder? Sonst muss sie ja von vorneherein alle produziert haben :? d.) Hmm muss ich da vielleicht die Ableitung des Integrals bzw. der in b. gegebenen Formel nehmen..? Die Formel stellt ja den Gesamtverkauf bis dahin dar, und wenn ich schaue in welchem Intervall er so wenig steigt dass es nur noch 10.000 sind? Aber wie mache ich das? Also wie gesagt Hilfe wäre toll..
07.08.2011, 11:40	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Aufgabe a) ist richtig gelöst! Sehr gut! Aufgabe b) bekommt man sehr leicht aus a), wenn man anstelle der oberen Grenze 24 eine beliebige Zeit T setzt und dann eben von 0 bist T integriert und den entstandenen Term etwas vereinfacht durch Ausklammern. Zur Aufgabe c) hier denke ich, musst du einfach nur den Grenzwert gegen t-> +unendlich berechnen, denn zu jedem Zeitpunkt heißt ja, dass auch in der Unendlichkeit noch MP3 Player da sein müssen. Ich denke hier wird vereinfacht davon ausgegangen, dass bereits am Anfang alle Geräte produziert wurden, die verkauft werden können nach dem Modell für V(t). Und wann die Firma beginnen muss hängt wirklich davon ab, wie viele sie pro Woche bzw. Tag produzieren, davon ist aber nichts im Text gegeben. Gruß Johnsen
07.08.2011, 12:25	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
oje habe echt probleme damit die Funktion für b.) aufzuleiten... das integrieren ging ja mit GTR.. muss ich da nicht alles so lassen und dann mal die ableitung derr hochzahl und mal den Kehrwert des Faktors? Aber es sind ja mehrere F...
07.08.2011, 12:27	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
In welcher Jahrgangsstufe bist du denn? Sagt dir partielle Integration etwas? Wenn ja, dann ist dieses Integral damit lösbar. Ich dachte, du hast das Integral bei der a) per pedes gelöst und nicht mit TR, dann ist die b) einfach. Gruß Johnsen
07.08.2011, 12:32	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
in der zwölf, wir hatten Integration schon lange, aber nur sinus und e-Funktionen usw, keine richtigen Produkte. Ich lese gerade den wiki-artikel darüber durch, bin aber seeehr verwirrt. was bringt mir denn integral von f(x) * g'(x) ? ich hab doch f(x) * g(x) oder?
07.08.2011, 12:32	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
achso oder muss ich g dann erst mal einzeln aufleiten.. aber ich hab ja mehr als 2 faktoren...
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07.08.2011, 12:36	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie lautet denn die "Formel" für das partielle Integrieren? Teilen wir den Integranden $\begin{eqnarray} t\cdot e^{-0,1t} \end{eqnarray}$ dann einmal geschickt auf in 2 Funktionen (das 1000 hab ich mal weggelassen, kann man ja eh vor Integral ziehen!) udn wenden darauf die part. Integration an. Gruß Johnsen
07.08.2011, 12:43	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von a bis b von f'(x) * g(x) = [f(x) * g(x)] - Integral von a bis b von f(x) * g'(x) dx. Heißt das nicht, ich hab vor dem ist-gleich dann einfach Integr von a bis b von e^(-0,1x) stehen, weils ja f' ist, und x'=1 ? Und das wär dann ja nicht was ich suche... kleiner tipp wär nett sollte ich dass denn schon können in der 12? :O Hab grad echt nen Denkfehler...
07.08.2011, 12:52	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibs mal in schöner und nenne f in g um und g in h um, da in der Aufgabenstellung bereits eine Funktion f heißt: $\begin{eqnarray} \int_a^b\left(g'(t)\cdot h(t)\right)\,dt\,=\, \left\|g(t)\cdot h(t)\right\|_a^b\,-\,\int_a^b\left(g(t)\cdot h'(t)\,dt\right) \end{eqnarray}$ in unserem Fall wählen wir einfach $\begin{eqnarray} h(t)\,:=\,t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g'(t)\,:=\,e^{-0,1t} \end{eqnarray}$ Damit hast du recht, das hintere Integral wird sehr leicht! jetzt musst du nur noch h'(t) und g(t) berechnen, in die "Formel" einsetzen und dann hast dus schon! Auf die Vorzeichen aufpassen und dann eben für a=0 und b=T einsetzen. Ob du das können musst weiß ich nicht, kommt darauf an in welchem Bundesland du Schüler bist, aber für diesen Aufgabenteil b) brauchst du es. Wenn ihr schon früher integriert habt, dann schlag doch mal nach, ob ihr das auch schonmal gemacht habt! Gruß Johnsen
07.08.2011, 13:10	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann ist g hoffentlich (1/-0,1) e^(-0,1t). Also = [ ( (1/-0,1) e^(-0,1t) t) ] 0 bis t - Integral 0 bis t ( (1/-0,1) e^(-0,1t) ) dt oder? Jetzt verwirrt mich nur noch dass das erste Integral in eckigen Klammern also sozusagen schon einen Schritt weiter als der zweite ist.. und wie kann ich ausklammern wenn beide von "verschiedenen" Integralen eingebaut sind? sry stell mich wohl sehr dumm an...
07.08.2011, 13:17	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ichs mal ignoriere, wäre es dann 0 bis t [ (1/-0,1) e^(-0,1t) * (t-1) ] ?
07.08.2011, 13:25	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen letzten Post verstehe ich nicht, aber das Ergebnis aus dem vorletzten Post stimmt! Überleg dir noch: was ist 1/(0,1) ? Und nun setz doch mal die obere und die untere Grenze ein! Dann erst ausklammern! Ich schreibs mal in LaTex, damit es übersichtlicher ist: $\begin{eqnarray} \int_0^T(1000 \cdot t\cdot e^{-0,1t})\,dt\,=\,1000 \cdot \left[\left\|-t\cdot 10\cdot e^{-0,1t}\right\|_0^T\,+\,10\cdot \int_0^T e^{-0,1t}\,dt\right] \end{eqnarray}$ Gruß Johnsen
07.08.2011, 13:42	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
1000* -t10e^(-0,1t) + 10* e^(-0,1t) mit eingesetzten Grenzen? ausgeklammert 10e^(-0,1t) (1 + -t * -1000t) = 10e^(-0,1t) (1+ 1000 t^2) Ich glaub da ist noch ein fehler drin...
07.08.2011, 13:46	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst zuerst noch das hintere Integral lösen, dann ist der Faktor nicht 10 sondern 100! Und nun setz groß T ein, damit man es nicht mit der Integrationsvariable vertauscht und als untere Grenze eben 0. Und bedenke, dass die 1000 als faktor auf die ganze Klammer gilt, nicht nur auf den ersten Teil!
07.08.2011, 13:59	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
die untere grenze hab och gleich weggelassen weil ja dabei wegen null abgezogen alles gleichbleibt... und ich weiß auch nicht wieso wenn ich beim letzten statt klein t groß t schreibe, die 10 zur 100 wird...
07.08.2011, 14:03	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst zunächst noch dieses Integral auswerten: $\begin{eqnarray} \int_0^T e^{-0,1t}\,dt\ \end{eqnarray}$ Dann kommst du auf die 100!
07.08.2011, 19:18	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Also noch ein Versuch demütiger Wiedergutmachung angesichts meines unverzeihlichen anfanglichen Unwissens... [ -10 T e^(-0,1T) - (100 e^(-0,1T) -100) ] *1000. Das stimmt glaube ich. Hab mir die partielle Integration mal erklären lassen, erraten kann ich sie ja auch nicht. ich wüsste aber nicht wie man es weiter vereinfachen kann und damit die Formel in b. beweisen kann.
07.08.2011, 19:27	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist vollkommen richtig! [ -10 T e^(-0,1T) - (100 e^(-0,1T) -100) ] 1000. Nun lösen wir mal die - Klammer auf: [ -10 T e^(-0,1T) - 100 e^(-0,1T) +100 ] 1000. Nun lösen wir die eckige Klammern auf, fassen die "großen" Zahlen als Zehnerpotenzen auf und dann kannst du ja noch e^ausklammern, dann hast du das gesuchte Resultat!
07.08.2011, 19:39	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie krieg ichs nicht weiter vereinfacht als das: e^(-0,1T) (-10^4 T - 10^5) + 10^5
07.08.2011, 19:48	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} e^{-0,1T} (-10^4 T - 10^5) + 10^5 = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-0,1T} (-10^4 (T + 10)) + 10^5 = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10^5-10^4(T+10)\cdot e^{-0,1T} \end{eqnarray}$ Das soll herauskommen, und das tuts auch!
07.08.2011, 19:58	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
ah jetz. hatte das mit ( T + (-10^5/-10^4) ) nicht gesehen. Danke! Dann versuch ich mich mal am Rest der Aufgabe...
08.08.2011, 00:03	elzcaw	Auf diesen Beitrag antworten »
e-Funktion analysieren Zur c.) hab ich jetzt: V = Gesamtzahl der nach t Wochen verkauften Player. V geht gegen 100000. Da es keine Information über die Produktion nach verkaufsbeginn gibt, müssen zu Beginn 100000 Stück produziert sein, um zu jedem Zeitpunkt genug zu haben. und d.) ...wann zu erwarten ist, dass insg nur noch 10000 Player verkauft werden: Integral von x bis unendlich von f(t) = 10000. -> 1000 * (10xe^(-0,1x) + 100 e^(-0,1x)) als Funktion nehmen, Schnittpunkt mit 10000 = x=38,897. Probe: Integral von 38,897 bis 500 von f(t) = 10000,16. Der letzte Teil von d.) macht irgendwie keinen Sinn aber das reicht denke ich auch oder?

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