Hauptzweig des Logarithmus

07.08.2011, 11:16

Gast11022013

Hauptzweig des Logarithmus

Meine Frage:
Bekanntlich ist ja $\begin{eqnarray*} L(z):=\int_{1}^{z}\frac{1}{\omega}d\omega+c \end{eqnarray*}$ der sog. Hauptzweig des Logarithmus auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{-}:=\mathbb C\backslash \mathbb R_{\leq 0} \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist ja $\begin{eqnarray*} \int_{1}^{z}:=\int_{\alpha_z} \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Kurve, die ihren Anfangspunkt bei 1 und ihren Endungspunkt bei z hat.

In der Vorlesung wurde nun der folgende Weg gewählt:

$\begin{eqnarray*} \alpha_z:=[1,\vert z\vert]+\left\{\vert z\vert e^{it}:0\leq t\leq \operatorname{Arg}(z)\right\} \end{eqnarray*}$ .

[Man geht also zunächst die x-Achse entlang und dann den Kreisbogen bis zum Punkt z.]

Das ist mir auch eigentlich bis hierhin klar.
Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} L(z)=\int_{1}^{\vert z\vert}\frac{1}{t}dt+\int_{0}^{\operatorname{Arg}(z)}\frac{\vert z\vert ie^{it}}{\vert z\vert e^{it}}dt=\ln \vert z\vert +i\cdot \operatorname{Arg}(z) \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf das zweite Integral?
Das verstehe ich irgendwie nicht.

Die Parametrisierung ist hier doch $\begin{eqnarray*} t\mapsto \vert z\vert e^{it} \end{eqnarray*}$
Wie kommt man auf Zähler und Nenner im Integranden beim zweiten Integral?

Meine Ideen:
...

07.08.2011, 11:59

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hauptzweig des Logarithmus

Zitat:

Original von Dennis2010
Die Parametrisierung ist hier doch $\begin{eqnarray*} t\mapsto \vert z\vert e^{it} \end{eqnarray*}$
Wie kommt man auf Zähler und Nenner im Integranden beim zweiten Integral?

Das ist eine höchst merkwürdige Frage. Du brauchst doch nur in die Definition des Kurvenintegrals für f(z) 1/z einzusetzen und für z und z' eben diese Parametriserung. Dann steht es da.

07.08.2011, 12:01

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Hauptzweig des Logarithmus
Finger1

Oh, stimmt.

Das ist mir jetzt peinlich.

Besten Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Hauptzweig des Logarithmus

Verwandte Themen