Vektorräume

07.08.2011, 15:42

IngNano

Vektorräume

Hallo,

auf folgende Seite findet ihr Aufgaben: http://www.matheboard.de/archive/160633/thread.html
Ich habe eine Frage zu M3.

Ich verstehe nicht, was (x2+y2)/2 bedeuten soll. Wie kommt man denn hier auf "durch 2"? Ist das einfach nur vorgegeben?

Wie gehe ich den an so einer Aufgabe heran? Muss ich dann alle Axiome überprüfen?

Danke

07.08.2011, 15:52

Grouser

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Das ist offenbar die Definition der Addition.

07.08.2011, 16:25

IngNano

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Die Definition? Muss da nicht nur x2+y2 stehen?

07.08.2011, 18:02

Grouser

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Du kannst die Addition ja erst einmal definieren wie du willst. Ob das ganze Sinn macht und ob wirklich ein Vektorraum auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ entsteht (in diesem Fall) bleibt dann zu prüfen.

08.08.2011, 12:14

IngNano

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Ich hab aber jetzt was anderes:

Prüfen sie welche der folgenden Abbildungen $\begin{eqnarray*} <.,.>: \mathbb R²\times \mathbb R ² \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ innere Produkte auf dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R ² \end{eqnarray*}$ definieren.

1.) <x,y>: = 4x1*y1 + x2*y2

So jetzt überprüft man --> auch auf Symmetrie?

Hier steht: Die Symmetrie ist klar, da die einzelnen Summanden symmetrisch sind.

Was heißt hier Symemtrie?

Danke

08.08.2011, 12:16

chrizke

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Symmetrie bedeutet:

$\begin{eqnarray*} <x,y>=<y,x> \end{eqnarray*}$

08.08.2011, 18:29

IngNano

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nochmal zu den Normen bitte:

$\begin{eqnarray*} ||x|| := |x1| - |x2| \end{eqnarray*}$

Welche der folgenden Abbildung $\begin{eqnarray*} ||.||: \mathbb R ² \Rightarrow \mathbb R definieren Normen auf \mathbb R ² \end{eqnarray*}$

Die Definitheit wird hier verletzt. Aber wieso verletzt hier der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Definitheit? Da er gleich 0 ist?

Und warum erfüllt auch folgender Vektor die Definitheit nicht. Der ist doch nicht 0.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Danke

08.08.2011, 18:37

Grouser

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Für $\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}|| := |x_1| - |x_2| \end{eqnarray*}$ gilt doch offenbar:

$\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}|| = |1| - |1| = 0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} ||.|| \end{eqnarray*}$ nicht positiv definit.

Und weiter: $\begin{eqnarray*} ||\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}|| = |0| - |1| = -1 \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} ||.|| \end{eqnarray*}$ auch nicht positiv semi-definit, also indefinit.

10.08.2011, 11:21

IngNano

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Muss das Ergebnis also größer als Null sein? Für den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gilt doch die Definitheit, oder nicht?

10.08.2011, 11:51

Dustin

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Kleine Korrektur: Grouser meinte sicher
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und nicht
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zu deiner Frage: Semidefinitheit gilt nicht für einzelne Vektoren, sondern entweder sie gilt oder sie gilt nicht.
Sie gilt, wenn die Voraussetzungen für ALLE denkbaren Vektoren erfüllt ist.
Sie gilt nicht, wenn es auch nur EINEN Vektor gibt, der die Voraussetzungen nicht erfüllt.

Wie Grouser ausgeführt hat, ist hier der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Gegenbeispiel, damit ist positive Semidefinitheit nicht gegeben. Fall erledigt smile

VG Dustin

EDIT: Hatte zuerst den falschen Vektor da stehen. Jetzt stimmt's.

10.08.2011, 12:19

Dustin B

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Zitat:

Muss das Ergebnis also größer als Null sein?

Bei positiver Semidiefinitheit muss das Ergebnis immer größer oder gleich Null sein, ja. Schau dir mal die Definition von positiver (Semi-) Definitheit an.

(Ich bin auch Dustin, wurde aber mal wieder rausgeschmissen vom Inet...)

11.08.2011, 13:32

IngNano

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Ich verstehe so langsam. Danke

Ich habe noch eine Frage:

$\begin{eqnarray*} \pi = {p:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R |p(x)=a0 + a1x, a0,a1 \in \mathbb R } \end{eqnarray*}$
Überprüfen, ob die Abbildung nach $\begin{eqnarray*} \pi\times \pi \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
eine Metrik ist.

1.) d(p1,p2) := $\begin{eqnarray*} |p1(0)- p2(0)| p1,p2 \in \pi \end{eqnarray*}$

Warum ist das jetzt keine Metrik?
Die Definitheit ist hier nicht erfüllt, aber warum? Warum können p1 und p2 nicht gleich sein? Wie wird das festgelegt?

Danke

11.08.2011, 14:11

IngNano

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p1=a1x+a0
p2=b1x+b0

Können hier a0 und b0 auch gleich sein?

11.08.2011, 19:18

Dustin

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Zitat:

Warum können p1 und p2 nicht gleich sein? Wie wird das festgelegt?

Ich hoffe, es erscheint nicht narzistisch, wenn ich mich nochmal selbst zitiere:

Zitat:

Semidefinitheit gilt nicht für einzelne Vektoren, sondern entweder sie gilt oder sie gilt nicht. Sie gilt, wenn die Voraussetzungen für ALLE denkbaren Vektoren erfüllt ist. Sie gilt nicht, wenn es auch nur EINEN Vektor gibt, der die Voraussetzungen nicht erfüllt.

Die Frage lautet damit nicht: KÖNNEN p1 und p2 gleich sein?, sondern: MÜSSEN p1 und p2 gleich sein, wenn bekannt ist, dass d(p1,p2)=0 ist?
Wenn du also auch nur EIN Beispiel angeben kannst, wo $\begin{eqnarray*} p_1 \neq p_2 \end{eqnarray*}$ und trotzdem d(p1, p2)=0 ist, hast du die Definitheit schon widerlegt!

Kannst du ein solches Beispiel finden?

(Übrigens: Wenn du in latex p_1 statt p1 schreibst, kannst du die 1 als tiefgestellt anzeigen lassen! smile

)

edit: bin jetzt erstmal off, was essen mit ein paar Bekannten smile

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