Gleichung der Tangente

07.08.2011, 16:49

Der Frager :D

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Gleichung der Tangente

Meine Frage:
Hallo...

Angaben:
Bestimme a) die Gleichung der Tangente an den Graphen f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-10x^2+20x-15 \end{eqnarray*}$ im Punkt P(2/f(2)) und b) an welchen Stellen von f die 1.Ableitung gleich 20 ist.

Brauche hilfe smile

smile

Meine Ideen:
Leider nichts.

07.08.2011, 17:06

sulo

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RE: Gleichung der Tangente
Wie lautet denn die allgemeine Gleichung für eine Gerade? smile

smile

07.08.2011, 17:12

Der Frager :D

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y=m*x+b so oder? oder habe ich dich falsch verstanden verwirrt

verwirrt

07.08.2011, 17:16

sulo

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Nein, das ist schon richtig. Freude

Freude

Darauf muss es also hinauslaufen. Nun überlege einmal, was wir wie ausrechnen können und was wir gegeben haben.

smile

smile

07.08.2011, 17:22

Der Frager :D

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also gegeben ist:

x=2
y=f(2)

1.Ableitung der Tangente

m=f'(2)..

richtig so weit?^^

07.08.2011, 17:24

sulo

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Wunderbar. Freude

Freude

x ist gegeben, y können wir mit f(x) ausrechnen, und die Steigung mit Hilfe der Ableitung der Funktion an x = 2.

Also fangen wir mal mit der Ableitung an. Kannst du sie aufschreiben?

smile

smile

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07.08.2011, 17:35

Der Frager :D

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Ich kann es mal veruschen Big Laugh

Big Laugh

..

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-10x^2+20x-15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=15x^2-20x+20 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 17:38

sulo

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Sieht gut aus. Freude

Freude

Und jetzt brauchen wir die Steigung bei x = 2.

smile

smile

07.08.2011, 17:43

Der Frager :D

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Meinst du so:

$\begin{eqnarray*} f'(2)=15*2^2-20*2+20 \end{eqnarray*}$ <--hoffe habe es richtig geschrieben verwirrt

verwirrt

Wenn ich Ausrechne kommt als Ergebnis 0 heraus.

07.08.2011, 17:46

sulo

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Dann rechne nochmal, denn die Gleichung stimmt....

07.08.2011, 17:48

Der Frager :D

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oh man

Hammer

..

Das Ergebnis ist 40 und nicht 0 Big Laugh

Big Laugh

07.08.2011, 17:54

sulo

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Gut

Freude

, und was haben wir jetzt errechnet?

07.08.2011, 18:02

Der Frager :D

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Errechnet haben wir y.

Wenn ich mich nicht täusche sieht es jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} y=m*x+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 40=40*2+b \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 55=40*2+b \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

07.08.2011, 18:09

sulo

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Zitat:

Original von Der Frager
Errechnet haben wir y.

Nein, wir haben m errechnet. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Der Frager
Errechnet haben wir y.

Wenn ich mich nicht täusche sieht es jetzt so aus:

$\begin{eqnarray*} y=m*x+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 40=40*2+b \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 55=40*2+b \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

Wie kommst du auf 40 bzw. 55 ? Frage: Haben wir das y schon errechnet? smile

smile

07.08.2011, 18:17

Der Frager :D

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ok.

$\begin{eqnarray*} y=40*2+b \end{eqnarray*}$

zu deiner frage..

$\begin{eqnarray*} f(2)=5*2^3-10*2^2+20*2-15 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 18:21

sulo

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Das habe ich dich doch gerade gefragt.... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Antwort: Nein, haben wir nicht. Also darfst du es nun mal machen. smile

smile

07.08.2011, 18:24

Der Frager :D

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Big Laugh

ok dann mache ich es mal.

$\begin{eqnarray*} f(2)=5*2^3-10*2^2+20*2-15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=25 \end{eqnarray*}$

richtig?

07.08.2011, 18:25

sulo

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Genau.

Freude

Und jetzt kannst du noch das fehlende b ausrechnen und die Gleichung der Tangente aufstellen. smile

smile

07.08.2011, 18:27

Der Frager :D

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ok..jetzt habe ich die Gleichung der Tangente.

$\begin{eqnarray*} 25=40*2+b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=-55 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 25=40*2-55 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 18:29

sulo

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Ist richtig. Freude

Freude

Und wie lautet die Tangentengleichung?

07.08.2011, 18:30

Der Frager :D

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mist muss mal schneller editieren Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 25=40*2-55 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 18:36

sulo

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Hmm, jetzt hast du alles aufgeschrieben und dir Gleichung stimmt. Aber die Tangentengleichung sieht so aus:

y = .... · x + .... smile

smile

07.08.2011, 18:38

Der Frager :D

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hmm meinst du

y=m*x+b

bin verwirrt

verwirrt

07.08.2011, 18:40

sulo

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Naja, m und b musst du einsetzen, die hast du ja gerade ausgerechnet. Deswegen habe ich die Pünktchen gemacht, damit da die Zahlen rein kommen. smile

smile

07.08.2011, 18:46

Der Frager :D

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also:

y=40*x-55

07.08.2011, 18:48

sulo

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Ja, das ist die Tangentengleichung. Freude

Freude

Jetzt zur zweiten Aufgabe:

Zitat:

Original von Der Frager
.... $\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-10x^2+20x-15 \end{eqnarray*}$ .... b) an welchen Stellen von f die 1.Ableitung gleich 20 ist.

Wie würdest du vorgehen? smile

smile

07.08.2011, 18:57

Der Frager :D

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Ich würde einmal Ableiten.

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-10x^2+20x-15 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=15x^2-20x+20 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 18:59

sulo

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Richtig, und dann? smile

smile

07.08.2011, 19:00

Der Frager :D

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$\begin{eqnarray*} f'(0)=15*0^2-20*0+20 \end{eqnarray*}$ so richtig?

07.08.2011, 19:06

sulo

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Hmm, dann berechnest du die Steigung bei f (0). Die ist zwar zufälligerweise 20, aber so sollte es nicht gemacht werden.

Vielmehr setzt du f '(x) = 20 und rechnest x aus. smile

smile

07.08.2011, 19:15

Der Frager :D

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also so:

$\begin{eqnarray*} f'(20)=15*20^2-20*20+20 \end{eqnarray*}$

jetzt bin ich bisschen verwirrt

07.08.2011, 19:17

sulo

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Nö, eher so:

$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x+20 = 20 \end{eqnarray*}$

smile

smile

07.08.2011, 19:19

Der Frager :D

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ok.und wie kann ich jetzt x ausrechnen?

07.08.2011, 19:21

sulo

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Naja, das ist doch eine einfache (quadratische) Gleichung....

Versuche mal, rechts die 20 zu entfernen. smile

smile

07.08.2011, 19:26

Der Frager :D

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$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x+20=20 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x \end{eqnarray*}$ soweit richtig?

07.08.2011, 19:31

sulo

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Zitat:

Original von Der Frager
$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x+20=20 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} -20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x \end{eqnarray*}$ soweit richtig?

Hmm, da fehlt der Rest der Gleichung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.08.2011, 19:37

Der Frager :D

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meinst du so verwirrt

verwirrt

(was ich nicht glaube smile

smile

)

$\begin{eqnarray*} 15x^2-20x=0 \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 19:43

sulo

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Na klar.

Freude

07.08.2011, 19:45

Der Frager :D

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ok und das ist jetzt die lösung zu b).?

07.08.2011, 19:52

sulo

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Nein, du musst x ausrechnen. Das ist Stoff der Mittelstufe... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hast du keine Ahnung wie es geht? Überlege doch mal. Die Rechnung ist wirklich nicht so schwer. Kannst du einen Versuch machen?
Du brauchst keine Formeln, es geht durch einfache Rechenschritte, die man für das Lösen von Gleichungen anwendet.

smile

smile

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