Vollständige Induktion/Geometrische Folge

07.08.2011, 17:10

Knieto

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Vollständige Induktion/Geometrische Folge

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Frage zur Vollständigen Induktion.
Ich habe hier schon in einigen Theards gesehen, dass dieses Thema schon des öfteren behandelt wurde.
Allerdings blicke ich da nicht ganz durch.

Ich habe eine Aufgabe:

Beweisen Sie den folgenden Satz durch vollständige Induktion:

Seien a1 das Anfangsglied und q der (konstante) Quotient einer geometrischen Folge. Dann gilt für das n-te Glied an : an = a1 * q^n-1

Meine Ideen:
Ich denke ich bräuchte nochmals eine genauere Erklärung wie ich so ein Problem angehe..

Die Reihenfolge der Induktion ist mir bekannt.
Als erstes beginne ich mit dem Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} A(1), d.h. a_1 = a_1 * q^{1-1} = a_1 \end{eqnarray*}$

Die Gültigkeit ergibt sich ja daraus.

II. Induktionsvorraussetzung: $\begin{eqnarray*} A(k), d.h. a_k = a_k * q^{k-1} \end{eqnarray*}$
Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} A(k+1), d.h. a_{k+1} = a_{k+1} * q^{((k+1)-1)} \end{eqnarray*}$

So jetzt beginnen leicht die Schwierigkeiten...

Nachweis: nach Definition einer geometrischen Folge gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{k+1}/a_k=q , also , a_{k+1}=a_k*q \end{eqnarray*}$

Es wäre Super wenn ihr mir helfen könntet..

Denn für das was danach kommt, stehe ich ein wenig auf dem Schlauch.
Kann natürlich auch sein, dass ich das Prinzip noch nicht richtig verstanden habe..

Danke im voraus

07.08.2011, 18:02

Johnsen

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Hi!

Dein Indunktiosanfang mit n=1 ist richtig!

$\begin{eqnarray*} z.z.: a_n\,=\,a_1\cdot q^{n-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} q\,=\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IA: n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1\,=\,a_1\cdot q^{1-1}\,=\,a_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} IS: n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\,=\,... \end{eqnarray*}$

Jetzt benutze $\begin{eqnarray*} q\,=\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Und setze dann die Voraussetzung ein, dann kommt man sofort zum gewünschten Ergebnis!

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 18:35

totti

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Hey,

Ich habe mich angemeldet...

Also wenn ich das richtig verstehe, was ich bestimmt nicht tue, müsste das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} a_{k+1} = a_1*a_k \end{eqnarray*}$

Da sich ja das $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ von q mit der eigentlichen voraussetzung wegkürzt.

Oder falsch?

07.08.2011, 18:38

Johnsen

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Wir sind ja gerade hier:

$\begin{eqnarray*} IS: n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\,=\,... \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzen wir $\begin{eqnarray*} q\,=\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \leftrightarrow a_{n+1}\,=\,q\cdot a_n \end{eqnarray*}$

Einfach nur die Gleichung nach a_n+1 auflösen!

Und hier kannst du ja jetzt deine Induktions-Voraussetzung für $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ einsetzen! Dann hat man es gleich gelöst!

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 18:50

totti

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Hmm..

Sry Johnsen.

Aber jetzt lass es mich noch mal rekonstruieren.
Und zwar haben wir Bedienung I fertig.
Bei Bedingung II haben wir die Induktionsvorraussetzung auch geklärt oder?
Dann wollen wir doch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_{k+1} * q^{((k+1)-1)} \end{eqnarray*}$ ist oder?

Bitte schreibe es in den Folgen die ich auch kenne, mit den einzelnen Schritten, damit ich es nachvollziehen kann...

Danke

07.08.2011, 19:03

Johnsen

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Nein, wir wollen im IS zeigen, dass

a_{n+1}\,=\,a_1\cdot q

ist!

Und ich kann dir nicht mehr schreiben, als ich es getan habe, sonst steht die Lösung schon da ;-)

Aber nochmals:

der IS sieht ja so aus:

$\begin{eqnarray*} IS: n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+1}\,=\,... \end{eqnarray*}$

Jetzt hast du ja selbst geschrieben wie q definiert ist, nämlich:

$\begin{eqnarray*} q\,=\,\frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Das stellen wir nach $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ um, dann können wir ja weiterrechnen im IS, denn da steht ja auch $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ .
Dann setzt du die IV ein und rechnest einen Schritt und bist fertig!

Gruß

Johnsen

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07.08.2011, 19:15

totti

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Hehe...gut nächster Versuch.

Also ich stelle die Formel einfach nach $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ um.

Dann steht da: $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=q*a_k \end{eqnarray*}$

So jetzt möchte ich also Einsetzen:

hmm..verdammt ich raff es nicht..das Umstellen verstehe ich, aber ich denke ich stehe so krass auf dem Schlauch, da ich das Prinzip von diesem Induktionsverfahren noch nicht verstanden habe... =(

07.08.2011, 19:18

Johnsen

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was gilt denn laut Voraussetzung für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bzw. was sollst du denn für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ zeigen? Das setzt du jetzt für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ein!!

edit: Sry für die Verwirrung mit k und n ... ich hab instinktiv immer n geschrieben, dabei heißt es in der Angabe ja k! also alles meine n´s sollen k´s sein ;-)

07.08.2011, 19:24

totti

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Also...

Das dachte ich mir schon=)

Gut... Die Voraussetzung für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist doch: $\begin{eqnarray*} a_k=a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$

Und ich will zeigen, dass das gleiche auch für $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt

Soweit richtig?

Damit hätten wir die Induktionsvoraussetzung und das was zu zeigen ist?!

Jetzt müssten wir doch eigentlich den Nachweis erbringen?!

Jetzt habe ich mich auch einmal mit k und n vertan Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.08.2011, 19:37

Johnsen

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Zitat:

Gut... Die Voraussetzung für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist doch: $\begin{eqnarray*} a_k=a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$ Und ich will zeigen, dass das gleiche auch für $\begin{eqnarray*} a_{k+1} \end{eqnarray*}$ gilt Soweit richtig?

Nein, leider nicht richtig!

Wir haben eine Aussage, die wir zeigen wollen, nämlich:

$\begin{eqnarray*} a_k\,=\,a_1\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$

Diese kann man zeigen, indem man es für ein konkretes Beispiel zeigt (z.B. k=1, das haben wir gemacht) und es dann für dessen Nachfolger k+1. Wir wollen also, dass bei unsere Rechnung im IS irgenwann die fast selbe Gleichung steht, wie die zu zeigende, mit dem Unterschied, dass jetzt überall, wo ein k stand ein k+1 stehen muss!!

Also wollen wir zeigen durch unsere Rechnung im IS, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}\,=\,a_1\cdot q^{k+1-1}\,=\,a_1\cdot q^k \end{eqnarray*}$

Und deshalb fangen wir, um dies zu zeigen auf der linken Seite dieser Gleichung an und arbeiten uns Stück für Stück weiter und hoffen, dass wir am Ende die rechte Seite erhalten, denn dann haben wir gezeigt, dass dies für alle k stimmt!

Du solltest dich zunächst erstmal grundlegend mit der Vollständigen Induktion beschäftigen, obwohl dieses Beispiel schon eines der einfacheren ist. Ein Klassiker im Bereich der vollst. Induktion, ist den "kleinen Gauß" zu beweisen.

Du hast genau 2 Gleichungen, von denen du beide einmal einsetzen musst, eine davon hast du schon gebraucht, also benutzen wir nun die andere. Die beiden Gleichungen, von denen ich rede sind:

$\begin{eqnarray*} (I) \,\,\, q\,=\,\frac{a_{k+1}}{a_k} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} (II)\,\,\, a_k\,=\,a_1\cdot q^{k-1} \end{eqnarray*}$

Wie oben beschrieben, wollen wir uns von links nach rechts vorarbeiten, deswegen fangen wir mit $\begin{eqnarray*} a_{k+1}\,=\, \end{eqnarray*}$ ... an, verwenden Gleichung (I) und dann setzen wir das a_k von Gleichung (II) ein!!

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 20:06

totti

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Das finde ich schon gut geschrieben, danke schonmal das du soviel Geduld mit mir hast...

Also wenn ich das jetzt auch noch nicht verstanden habe, sieht dann meine Formel von links aus eingesetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} q*a_k=a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$

Richtig verwirrt

verwirrt

edit: Stop sry zurück..

was hälst du von: $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=q*a_1*q^{k-1} \end{eqnarray*}$

07.08.2011, 20:23

Johnsen

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davon halte ich sehr viel! Jetzt noch kurz Potenzrechengesetze anwenden:

$\begin{eqnarray*} p\cdot p^{k-1}\,=\, \end{eqnarray*}$

Und dann steht da, was dastehen soll!

07.08.2011, 20:27

totti

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Dann nehme ich an nach Adam Riese...

Das es $\begin{eqnarray*} a_{k+1}=a_1*q^k \end{eqnarray*}$ ist??????

Damit haben wir dann das bewiesen was wir beweisen wollten?!

07.08.2011, 20:37

Johnsen

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Ja, das haben wir! Denn nun steht überall anstelle des k ein k+1. Ich bitte dich aber trotzdem (in deinem eigenen Interesse) dich nochmals mit dem allgemeinen Prinzip der vollst. Induktion zu beschäftigen, denn so ganz verstanden hast du es denke ich noch nicht.
Du zeigst es für ein konkretes Beispiel, dann gehst du in den IS, setzt k+1 ein, wandelst den entstandenen Ausdruck so um, dass du die Ind. Voraussetzung einsetzen kannst und versuchst es dann so darzustellen, dass überall wo ein k vorher stand (in der Voraussetzung) nun ein k+1 steht.

Wie gesagt, eines (wenn nicht DAS) berühmteste Beispiel für vollst. Induktion ist der "Kleine Gauß"

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \,k\,=\,\frac{n\cdot(n+1)}{2}\,\,\,,n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Du kannst es ja mal versuchen dies zu beweisen, wäre eine gute Übung!

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 20:49

totti

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alles klar ich rechne es mal eben...mal sehen ob ich es chekke..

das ergebnis poste ich dann gleich wieder hier?!

07.08.2011, 20:52

Johnsen

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Kannst du machen, auf Wikipedia steht auch eine Lösung, bzw, ein paar Schritte. Wenn du ncith weiß, wo deine eventuellen Fehler liegen, kannst du gern hier posten!

http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A...he_Summenformel

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 21:43

totti

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möchte also deine geschriebene Formel zeigen, den Schritt spare ich mir jetzt mal.

Das möchte ich mit der vollständigen Induktion über $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ machen.

Induktionsanfang: $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k =1=\frac{2}{2} =\frac{1*2}{2}=\frac{1*(1+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich die erste Bedingung bewiesen.

Dann kommt der Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} n=k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} n=k+1 \end{eqnarray*}$

- Induktionsannahme:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^k k =\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

jetzt ist zu zeigen: Das man mit der Formel von der Induktionsannahme auch an den Beweis kommt.

Dafür schreiben wir erstmal:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{k+1} k =\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt dann wenn ich mich nicht irre:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{k+1} k =\sum\limits_{k=1}^n k+(k+1) \end{eqnarray*}$

Jetzt setzte ich die Induktionsannahme ein:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2} +(k+1) \end{eqnarray*}$

Dann muss ich den 2. Bruch ja gleichnahmig machen, damit ich addieren kann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k+(k+1)=\frac{k(k+1)}{2} +\frac{2(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Auf einen Bruchstrich zum besseren Verständis:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k+(k+1)=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Dann mit hilfe des Distributivgesetztes $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{eqnarray*}$

Und jetzt sieht man nach dem Schritt das man das gleiche hat, wie man es beweisen wollte:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k+(k+1)=\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Was meinst du????

Mensch war das ne Tipperei =)

07.08.2011, 21:51

Johnsen

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Sehr gut gemacht!

nur das hier:

Zitat:

Dafür schreiben wir erstmal:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{k+1} k =\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} \end{eqnarray*}$

DAS wollen wir ja genau am Ende zeigen, du schreibst es gleich am Anfang hin ;-) Entweder schreibst du dazu, das dies zu zeigen ist, oder lässt es weg.

Aber sonst hervorragend!! Freude

Freude

Gruß

Johnsen

07.08.2011, 21:56

totti

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das meinte ich ja, genau das sollte ganz nach unten, und die schritte vorher sollten dahin führen.

Shit ein Fehler naja Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber ich denke prinzip verstanden...gibt es noch was vergleichbares, zum üben?

habe eine aufgabe noch, da happert es trotzdem wieder...meine lösungsansätze schreibe ich morgen hier rein...

Aufgabe: Gegeben sind die arithmetischen Folgen ( an) und ( bn).
Weisen Sie nach, dass die Folge ( an+k*bn) ebnfalls eine arithmetische Folge ist, wobei k irgendeine reelle Zahl sein soll.

Danke bis morgen..

Die Freundin möchte bissl Zeit verbringen(Pretty Woman läuft) =( Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.08.2011, 09:27

Johnsen

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Zitat:

gibt es noch was vergleichbares, zum üben?

Ja, genug, einfach mal Googel fragen! hab spontan das hier gefunden, sogar mit erklärten Lösungen!

http://delphi.zsg-rottenburg.de/vollstind.html

Gruß

Johnsen

08.08.2011, 16:04

totti

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Also ich fange einfach mal an,

die 1. arithmetische Folge habe ich mit :

$\begin{eqnarray*} a_n=a_1+(n-1)*d_1 \end{eqnarray*}$

die 2. arithmetische Folge habe ich mit :

$\begin{eqnarray*} b_n=b_1+(n-1)*d_2 \end{eqnarray*}$

die 3. Folge (bei der ich nachweisen soll das es eine arithmetische ist) ergibt sich dann daraus:

$\begin{eqnarray*} c_n=a_n+k*b_n \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} c_n=c_1+(n-1)*d_3 \end{eqnarray*}$

Ist dass denn soweit schonmal richtig?

Gruß Totti

08.08.2011, 16:24

Johnsen

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Hi totti!

Ist dein Anfangsglied $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ?

08.08.2011, 18:14

totti

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Hmm...

Ich denke da es in der Aufgabe nicht steht bzw vermerkt ist und ich bei einer Aufgabe zuvor stehen habe: $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N^* \end{eqnarray*}$

gehe ich davon aus, dass $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ mein Anfangsgleid ist

Gruß Totti

08.08.2011, 18:45

Johnsen

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na dann schieß mal los, was deine Ideen so sind!

08.08.2011, 18:55

totti

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Also..

rein Instinktiv würde ich sagen...

Alle 3 Formeln werden gebraucht.
Also muss ich für die neue Folge "c" nach $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ umstellen.

mit anderen Worten: $\begin{eqnarray*} c_1=a_1+k*b_1 \end{eqnarray*}$

Und natürlich muss ich auch noch das $\begin{eqnarray*} d_3 \end{eqnarray*}$ unterbringen.
$\begin{eqnarray*} d_3=d_1+k*d_2 \end{eqnarray*}$

Soweit ok

08.08.2011, 19:02

Johnsen

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ja, denk schon

08.08.2011, 19:09

totti

Auf diesen Beitrag antworten »

Somit habe ich doch bewiesen, das du Differenz auch bei der neuen Folge:
$\begin{eqnarray*} d_3=d_1+k*d_2 \end{eqnarray*}$ immer konstant ist.

Da ich ja durch die ersten beiden arithmetischen Folgen ja die konstante Differenz kenne.
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}-a_n=d_1 \end{eqnarray*}$

Bzw. auch mit d_2

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