Beweis mit binomischem Satz

07.08.2011, 17:21	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit binomischem Satz Guten Nachmittag, Ich will das mit dem binomischen Satz beweisen: $\begin{eqnarray} (1+x)^n \geq \frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N}, x > 0 \end{eqnarray}$ Also mal paar Summanden aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} (1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot 1^{n-k} \cdot x^k = \sum_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot x^k = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix}\cdot x^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix}\cdot x^1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}\cdot x^2 + ... + \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot x^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + n\cdot x + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}\cdot x^2 + ... + \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\cdot x^k \end{eqnarray}$ Jetzt wäre meine Idee irgendwie zu zeigen, dass womöglich bereits die ersten aufgeschriebenen Glieder immer größer sind als der linke Teil der Ungleichung? Das könnte womöglich nebenbei mit Induktion gehen? O_o
07.08.2011, 17:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
nur als Bemerkung zu der Idee: rechts wird x durch das ² immer positiv. Links sieht das anders aus. Was ist über x bekannt?
07.08.2011, 17:22	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Ungleichung gilt sicher nicht für alle x. Da wäre es doch von Vorteil, wenn du uns die Einschränkungen verraten würdest
07.08.2011, 17:23	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleicher Einwand. Dann gebe ich für weiteres an tmo ab. Muss weg.
07.08.2011, 17:24	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich hatte natürlich ganz vergessen zu erwähnen, dass: $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N}, x > 0 \end{eqnarray}$
07.08.2011, 17:36	allahahbarpingok	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habs! Es reicht tatsächlich die ersten 3 Glieder zu betrachten: $\begin{eqnarray} 1 + n\cdot x + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}\cdot x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + n\cdot x + \frac{n!}{(n-2)!\cdot 2!}\cdot x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + n\cdot x + \frac{n!}{(n-2)!\cdot 2}\cdot x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 1 + n\cdot x + \frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!2}\cdot x^2 = \frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray}$ Und jetzt sieht man sofort: $\begin{eqnarray} 1 + n\cdot x + \frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2 \geq \frac{n\cdot (n-1)}{2}\cdot x^2 \end{eqnarray*}$ Da die Summenglieder ingesamt also immer größer werden, gilt die Ungleichung erst recht.
Anzeige

07.08.2011, 17:42	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Feinheit noch: Was ist denn, wenn n = 0 oder n=1 ? Dann gibt es gar kein 3tes Glied in der Summe.
08.08.2011, 08:32	phlowe	Auf diesen Beitrag antworten »
kann man doch als sonderfall betrachten. die abschätzung ist dann durch n*(n-1) eh gleich 0 und somit ja auf jedenfall erfüllt.
08.08.2011, 10:19	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber man muss es auch tun, und das wird gerne vergessen.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »