Kreisfiguren Berechnung

07.08.2011, 20:47

Exporus

Kreisfiguren Berechnung

Guten Tag,

Aufgabe:
Zwei Kreise mit gleichem Radius r schneiden sich so, dass der Mittelpunkt jedes Kreises auf dem Rand des jeweils anderen Kreises liegt.
Bestimme den Flächeninhalt und den Umfang.
[attach]20785[/attach]

Nun habe ich im Formelsammlung nachgesehen und folgendes gefunden.

$\begin{eqnarray*} A=\frac{2}{3} r^2\pi -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$

Zum Umfang leider nichts.

Nun habe ich folgende Fragen:
-Wie leitet man die Flächeninhalts Formel her?
-Wie erhalte ich den Umfang?

07.08.2011, 21:27

Gualtiero

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RE: Kreisfiguren Berechnung
Flächeninhalt und Umfang beziehen sich auf die Gesamtfigur, also auf die zwei sich überlappenden Kreise, oder?

Dann kannst Du mal die linsenförmige Schnittfläche berechnen. Sie besteht aus zwei gleichen Segmentflächen.
Dazu ist der Winkel des zugehörigen Kreissektors notwendig - findest Du den heraus?

Übrigens meine ich die Aufgabe schon mal hier gesehen zu haben, weiß aber den Titel nicht mehr. verwirrt

07.08.2011, 21:51

Exporus

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ja, es geht um die Gesamtfläche.

Wenn ich dich richtig verstanden habe, kann ich den den Winkel durch das Skarlarproduckt der Vektoren von Schnittpunkten zum Mittelpunkt errechnen.
Der Winkel betragt 120°.

Aber ich weiß leider nicht wie ich den Flächeninhalt der Segmentflächen berechne.

07.08.2011, 21:58

Gualtiero

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120° ist richtig, und das ergibt sich ganz einfach aus der Tatsache, dass die beiden Schnittpunkte und die beiden Mittelpunkte zwei gleichseitige Dreiecke (Radius ist Seitenlänge) bilden.

Bei einer Segmentfläche geht man meist von der Sektorfläche aus. 120° ist ein Drittel eines Vollkreises. Wie groß ist also die Sektorfläche?

Davon ziehst Du dann die Fläche des Dreiecks mit den Seiten Radius, Sehne, Radius, ab.

Edit: Damit sollte es klar sein.

[attach]20786[/attach]

07.08.2011, 22:25

Exporus

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Ich glaube jetzt habe ich es

Volumen der Sektorfläche
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{3} r^2\pi \end{eqnarray*}$

Volumen Dreieck
$\begin{eqnarray*} A=\frac{r^{2} }{2} \end{eqnarray*}$

Volumen der Schnittfläche
$\begin{eqnarray*} A=(\frac{r^{2} }{2} -\frac{1}{3} r^2\pi)*2 \end{eqnarray*}$

Volumen des Kreisgebildes:
$\begin{eqnarray*} A=2r^{2}\pi -((\frac{r^{2} }{2} -\frac{1}{3} r^2\pi)*2) \end{eqnarray*}$

Und mit dem Winkelverhältnis kann ich auch den Umfang bestimmen

$\begin{eqnarray*} 2\pi r*\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

Danke Freude

08.08.2011, 09:59

Gualtiero

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Überall, wo Du "Volumen" sagst, meinst Du natürlich "Fläche", oder?

Die Sektorfläche stimmt, aber danach hast Du Fehler in den Ergebnissen.

Zur Dreiecksfläche: sie besteht aus zwei rechtwinklicgen, 30°- u. 60°-Dreiecken. Damit kann man ganz einfach Höhe und halbe Sehne berechnen.

Zum Umfang: Du hast ja zwei solcher Zweidrittel-Kreise, also . . .

08.08.2011, 10:54

Exporus

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... und was sagt uns das, nicht im Halbschlaf lernen....

Flächeninhalt gesamt
$\begin{eqnarray*} A=2r^{2}\pi -((-\frac{r^{2} }{2}+\frac{1}{3} r^2\pi)*2) \end{eqnarray*}$

Umfang
$\begin{eqnarray*} 2\pi r*\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

08.08.2011, 13:01

Exporus

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Umfang
$\begin{eqnarray*} 2\pi r*\frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

08.08.2011, 14:31

Gualtiero

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Umfang ist OK. Freude

Bezüglich der Dreiecksfläche kann ich nur auf das bereits Gesagte verweisen. Warum $\begin{eqnarray*} \frac{r^2}{2} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} \cos 60°=\frac{1}{2}=\frac{h}{r} \end{eqnarray*}$

Damit kann man sowohl h als auch s in Abhängigkeit von r ausdrücken und danach die Fläche bestimmen.

[attach]20794[/attach]

08.08.2011, 15:20

Exporus

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Deine Aussage kann ich nachvollziehen.

Ich habe die Flächeninhalts Formel für ein Rechtwinkliges Dreieck verwendet. Hammer

Danke für die Hilfe vor allen da ich mich so trottelig angestellt habe

11.08.2011, 02:25

Augustus

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Ich habe diese Aufgabe mal für mich selbst bearbeitet und komme bei der Berechnung der Fläche aber immer auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi r^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 \end{eqnarray*}$ als Fläche unglücklich

.

Für die Dreiecksfläche habe ich $\begin{eqnarray*} A_{D} = \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \end{eqnarray*}$ raus und folglich ist die Fläche des Segmentes $\begin{eqnarray*} A_{S} = \frac{1}{3}\pi r^2 - A_{D} = \frac{1}{3}\pi r^2 - \frac{\sqrt{3}}{4}r^2 \end{eqnarray*}$ . Also ist meiner Schlussfolgerung

$\begin{eqnarray*} A = 2A_{S} + 2(\pi r^2 - 2A_{S}) \end{eqnarray*}$ , nämlich zwei Mal das Segment und dann die beiden Kreise ohne das doppelte Segment...

Fügt man entsprechendes in die Formel ein, so komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac{4}{3}\pi r^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 \end{eqnarray*}$ als Fläche... Was mache ich falsch? unglücklich

11.08.2011, 10:22

riwe

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meiner meinung nach nix.
dein ergebnis stimmt für die fläche beider kreise (sozusagen wie im bilderl) Freude

11.08.2011, 12:42

Augustus

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Zitat:

Original von riwe
meiner meinung nach nix.
dein ergebnis stimmt für die fläche beider kreise (sozusagen wie im bilderl) Freude

Oh, achso. Jetzt habe ich selbst bemerkt, wieso meine Lösung nicht mit den vielen Lösungen, die im Internet kursieren, übereinstimmt. Ich wollte eine Formel für die gesamte Fläche herleiten - wa mir ja anscheinend auch gelungen ist -, aber die mir vorliegende Musterlösung war nur der Flächeninhalt des Doppelsegmentes (ist mir jetzt aufgefallen, als ich mir nochmal meine Lösung angeschaut habe und gesehen habe, dass $\begin{eqnarray*} 2A_{S} \end{eqnarray*}$ das Ergebnis der Musterlösung ist).
Naja, vielen Dank ^^ Freude

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