Menge hat kein größtes Element

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08.08.2011, 15:28	BigSmile	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge hat kein größtes Element Meine Frage: Hallo! Ich habe folgende Menge zu der ich beweisen will, dass sie kein größtes Element hat: $\begin{eqnarray} M := \left\{ x\| x^{2}<2, x\geq 0 \right\} \end{eqnarray}$ Ich bin mir nicht sicher wie ich das beweisen soll, am besten wäre ein Widerspruchsbeweis, oder? Meine Ideen: Annahme: Sei $\begin{eqnarray} m\geq x \forall x \in M \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \exists h : 0 \leq h <1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (m+h)^{2}=m^{2}+2hm+h^{2}:=t \in M \Rightarrow t> m \end{eqnarray}$ Die wäre dann ja ein Widerspruch zur Annahme. Reicht das als Beweis?? Vielen Dank für Eure Hilfe!!
08.08.2011, 15:39	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du umgehst in deinem Beweis die eigentliche Frage. Du sagst, dass so ein h existiert, dass $\begin{eqnarray} (m+h)^2 \in M \end{eqnarray}$ , aber genau das gilt es ja zu zeigen.
08.08.2011, 15:44	BigSmile	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut aber wie kann ich das zeigen??
08.08.2011, 15:48	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt ja, dass $\begin{eqnarray} m < sqrt(2) \end{eqnarray}$ und jetzt überlegt nochmal wie dein $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ aussehen könnte.
08.08.2011, 16:38	BigSmile	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich denke das h sollte Abhängigkeit von m stehen oder? Ist denn der Anfang erst mal sinnvoll gewesen?? Ich würde die obere Gleichung nach h umstellen: $\begin{eqnarray} h = m^{2}-4m+4 \end{eqnarray}$ Meinst du das so??
08.08.2011, 17:15	BigSmile	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay habe gesehen, dass die Umstellung Müll ist. Also wenn ich die Formel $\begin{eqnarray} m^{2}+2mh+h^{2}<2 \end{eqnarray}$ nach h umstelle komme ich auf die Lösungen $\begin{eqnarray} h_{1,2}=-m\pm \sqrt{m^{2} +2} \end{eqnarray}$ . Wenn ich also mein h aus dem Intervall $\begin{eqnarray} h\in (-m-\sqrt{2+m^{2} },-m+\sqrt{2+m^{2} } ) \end{eqnarray}$ wähle habe ich die Lösung oder??
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08.08.2011, 17:58	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Du machst dir das viel zu schwierig. Es gilt also $\begin{eqnarray} m < \sqrt(2) \end{eqnarray}$ . Wie sieht's denn dann mit $\begin{eqnarray} m + \frac{\sqrt(2)-m}{2} \end{eqnarray}$ aus? edit: Deine Lösung ist übrigens nicht sinnvoll. $\begin{eqnarray} h < 0 \end{eqnarray}$ hilft uns nicht weiter
08.08.2011, 18:01	BigSmile	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ja klar das macht Sinn. Aber ist mein Weg gänzlich falsch oder einfach nur umständlich?? Und wie komme ich auf deinen Weg? Das sieht man einfach oder überlegt es sich einfach, oder? h < 0 macht keinen Sinn, dass ist klar, wäre aber nicht falsch denke ich. Danke für deine Hilfe!!
08.08.2011, 18:16	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Problem für $\begin{eqnarray} h<0 \end{eqnarray}$ ist, dass $\begin{eqnarray} m+h < m \end{eqnarray}$ und das ist kein Widerspruch zur Annahme, dass $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ maximales Element ist. Wir suchen aber ein $\begin{eqnarray} h>0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m+h \in M \end{eqnarray}$ um den gewünschten Widerspruch zu bekommen und das findet man zum Beispiel so wie ich es nahegelegt habe. Und die Lösung ist in diesem Fall ja sehr anschaulich. Wenn du dir das auf einer Zahlengeraden vorstellst und m als maximal annimmst kannst du immer noch den halben Abstand von $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ hinzuaddieren, sodass $\begin{eqnarray} (m+h)^2 < 2 \end{eqnarray}$ gilt, da $\begin{eqnarray} (.)^2: \mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}_+, x \mapsto x^2 \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist und $\begin{eqnarray} x^2 = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{eqnarray}$ gilt.

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