Wirklich Bijektion

08.08.2011, 17:05

mathinitus

Wirklich Bijektion

Hallo,

ich habe gelesen, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} G/H \to U \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} gH \mapsto gHg^{-1} \end{eqnarray*}$ bijektiv sein soll, wenn H eine nichtnormale Untergruppe von G ist (U ist hierbei die Bahn von H unter Konjugation von Untergruppen mit Elementen aus G).
Das kann ich aber irgendwie nicht glauben. Ist das wirklich wahr?

08.08.2011, 17:53

DerTeufel

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Ja, das ist echt unglaublich, was?

Wieso kannst du es denn nicht glauben? Hast du etwa ein Gegenbeispiel gefunden?

Ansonsten: Versuche es, schrittweise zu beweisen. Das übliche Spielchen halt: Homomorphie, Injektivität, Surjektivität.

08.08.2011, 18:16

mathinitus

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Zitat:

Original von DerTeufel
Ansonsten: Versuche es, schrittweise zu beweisen. Das übliche Spielchen halt: Homomorphie, Injektivität, Surjektivität.

Homomorphie? Das erste ist doch gar keine Gruppe.

08.08.2011, 18:19

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von DerTeufel
Das übliche Spielchen halt: Homomorphie, Injektivität, Surjektivität.

Was soll hier ein Homomomorphismus sein?

Edit: Sorry, zu spät. unglücklich

08.08.2011, 18:27

mathinitus

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Wenn man es zeigen könnte, wäre das einzige, was wirklich zu zeigen wäre, ja wohl die Injektivität.
Geht das? Müssen die wirklich alle verschieden sein?

08.08.2011, 22:38

mathinitus

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Sei s die Anzahl der p-Sylowuntergruppen, dann ist s bekanntlich Teiler von q, wobei $\begin{eqnarray*} p^nq \end{eqnarray*}$ die Gruppenordnung ist. Ist eine der s p-Sylowuntergruppen nicht normal, so sind es alle und es gilt $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ . Wäre die Aussage mit der Bijektion aber richtig, dann würde nun automatisch folgen $\begin{eqnarray*} s=q \end{eqnarray*}$ , da q der Index einer p-Sylowuntergruppe ist. Wenn dem tatsächlich so wäre, dann hätte man diese Tatsache doch sicherlich in die Sylowsätze mit aufgenommen und anstelle von s teilt q hätte man gleich gesagt s=1 oder s=q.

Was meint ihr dazu?

09.08.2011, 18:01

mathinitus

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Hat hier keiner eine Meinung?

09.08.2011, 18:46

jester.

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Betrachte mal die einfache Gruppe $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |A_5|=60=2^2\cdot 3 \cdot 5 \end{eqnarray*}$ .
Die Anzahl der 5-Sylowgruppen ist 6, der Index einer 5-Sylowgruppe ist jedoch 12.
Es gibt also keine Bijektion zwischen den Nebenklassen einer Sylowgruppe und ihrer Bahn unter der Konjugationsoperation.

Richtig ist jedoch, dass es eine Bijektion zwischen der Bahn einer Operation und den Nebenklassen des Stabilisators eines Elements in der Bahn gibt. Eigenwerbung: [Artikel] Gruppenoperationen

09.08.2011, 18:54

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Betrachte mal die einfache Gruppe $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |A_5|=60=2^2\cdot 3 \cdot 5 \end{eqnarray*}$ .
Die Anzahl der 5-Sylowgruppen ist 6, der Index einer 5-Sylowgruppe ist jedoch 12.
Es gibt also keine Bijektion zwischen den Nebenklassen einer Sylowgruppe und ihrer Bahn unter der Konjugationsoperation.

Also daraus folgt ja, dass meine Intuition richtig war und die Aussage aus dem ersten Post, wie vermutet, falsch. Sehe ich das richtig?

Zitat:

Original von jester.
Richtig ist jedoch, dass es eine Bijektion zwischen der Bahn einer Operation und den Nebenklassen des Stabilisators eines Elements in der Bahn gibt. Eigenwerbung: [Artikel] Gruppenoperationen

Genau, das ist mir bewusst, darauf basiert ja auch die Klassengleichung. Danke aber dennoch für den Workshop, den hatte ich noch nicht entdeckt, ich gehe ihn auf jeden Fall einmal durch, sicher ist auch für mich etwas neues dabei.

09.08.2011, 19:01

jester.

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Zitat:

Original von mathinitus
Also daraus folgt ja, dass meine Intuition richtig war und die Aussage aus dem ersten Post, wie vermutet, falsch. Sehe ich das richtig?

Das sehe ich auch so. Augenzwinkern

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