Flüsse und Untergruppen

08.08.2011, 17:08

stevewilson

Flüsse und Untergruppen

Hallo,

folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} u_{0} \in U \end{eqnarray*}$ ein regulärer, periodischer Punkt mit Peridode T > 0 des
Flusses $\begin{eqnarray*} \phi : \mathbb R \times U \rightarrow U \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie:

(i) Die Menge $\begin{eqnarray*} P := \left\{s \in \mathbb R : \phi(s,u_{0}) = \phi(0,u_{0}) \right\} \end{eqnarray*}$ ist eine echte, nicht-triviale Untergruppe von $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ .

(ii) Die Gruppe P besteht genau aus allen Perioden von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

(iii) Es gibt eine kleinste positive Periode von $\begin{eqnarray*} T_{min} = inf \left\{ s > 0 : s \in P\right\} > 0 \end{eqnarray*}$

Hier

http://service.ifam.uni-hannover.de/~ehr...ta/DE_short.pdf

auf Seite 24 (nach Nummerierung bzw.S.28 von 42), unten bei Definition 4.3 ist definiert was periodisch und regulär bedeutet.

Meine Ideen:

Ich würde jetzt rangehen und die zwei Kriterien für Untergruppen überprüfen.

Z.B. muss gelten

$\begin{eqnarray*} s_{1}, s_{2} \in P \Rightarrow s_{1} + s_{2} \in P \end{eqnarray*}$

Ich kann P auch definieren als:

$\begin{eqnarray*} P := \left\{s \in \mathbb R : \phi(s + kT,u_{0}) = \phi(0,u_{0}) \right\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Wähle nun:

$\begin{eqnarray*} s_{1} = s + k_{1}*T s_{2} = s + k_{2}*T k_{1},k_{2} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{1} + s_{2} = s + k_{1}*T + s + k_{2}*T = 2s + (k_{1} + k_{2})T \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} k_{1} + k_{2} \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Jetzt steht da jedoch 2s. Die Frage ist nun, ob

$\begin{eqnarray*} 2s +( k_{1} + k_{2})*T \end{eqnarray*}$

zu P gehört. Wie überprüfe ich das?

Zudem muss ja gelten:

$\begin{eqnarray*} s_{1} \in P \Rightarrow {s_{1}}^{-1} \in P \end{eqnarray*}$

Aber die Periode ist ja T > 0. Ist das inverse Element dann überhaupt in P?

(ii) klingt zwar völlig logisch, aber wie ich das formal beweise, weiß ich nicht.

(iii) können wir uns dann anschauen, wenn (i) und (ii) erledigt sind...

08.08.2011, 18:29

gonnabphd

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Hi,

Ich verstehe nicht genau, was du bei (i) machst/machen willst (also die Idee, die dich dazu führt, das P so umzuschreiben).

Du kannst das doch gleich aus der (ursprünglichen) Definition von P machen.

Es gilt ja

$\begin{eqnarray*} s\in P \quad \iff \quad \phi(s,u_0) = \phi(0,u_0) \end{eqnarray*}$

Nun musst du bloss die Eigenschaften vom Fluss benutzen um zu zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} s_1, s_2\in P \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} s_1+s_2\in P \end{eqnarray*}$ . Beachte insbesondere $\begin{eqnarray*} \phi(0,\,\cdot\,) =\mathrm{id}_U \end{eqnarray*}$

Dann ist die Gruppe hier $\begin{eqnarray*} (\mathbb R, +) \end{eqnarray*}$ , d.h. das Inverse von $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} -s \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1s \end{eqnarray*}$ .

Soweit schubs' ich dich für's erste mal. Wink

08.08.2011, 18:47

stevewilson

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Nicht? Das ist doch eine mögliche Definition einer Periode dachte ich. So hab ich irgendwelche s mit denen ich rechnen kann.

Wie kommst du auf

$\begin{eqnarray*} \phi(0,\cdot)=id_{u} \end{eqnarray*}$ ?

Mit dem Inversen hast du natürlich recht. Man schreibt das allgmeine Inverse einer Operation ja als $\begin{eqnarray*} s^{-1} \end{eqnarray*}$

Wie du mit der Definition von P das zeigen würdest, ist mir nicht klar,
Meinst du vielleicht ich soll zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} s_{1} := s \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} s_{2} := s + T \end{eqnarray*}$

addiert in P liegen? Selbst da wüsste ich nicht wie das geht...

08.08.2011, 19:10

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi(0,\cdot)=id_{u} \end{eqnarray*}$ ?

Das ist doch schon in der Definition des Flusses gegeben. geschockt

i.e. $\begin{eqnarray*} \phi(0,u) = u \forall u \iff \phi(0, \, \cdot \, ) = id_U \end{eqnarray*}$

p.s. Es gibt eine viel schönere Möglichkeit den Fluss hinzuschreiben als diejenige, welche du bisher verwendet hast: Man kann auch

$\begin{eqnarray*} \phi(s,u) =: \phi_s(u) \end{eqnarray*}$

schreiben. Dann sehen die beiden Eigenschaften, welche ein Fluss so erfüllen muss folgendermassen aus:

$\begin{eqnarray*} \phi_0(u) = u \quad \forall u \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi_{s+t}(u) = \phi_s \circ \phi_t(u) \quad \forall u \in U \end{eqnarray*}$

bzw. $\begin{eqnarray*} \phi_0 = \mathrm{id}, \; \phi_{s+t} = \phi_s \circ \phi_t \end{eqnarray*}$

p.p.s.

Zitat:

Meinst du vielleicht ich soll zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} s_{1} := s \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} s_{2} := s + T \end{eqnarray*}$

Nein. Sondern $\begin{eqnarray*} s_1, s_2\in P \end{eqnarray*}$ beliebig. Und dann bloss den Definitionen nachlaufen. (Dem ersten Abschnitt nach zu urteilen, hast du diese ja noch nicht verinnerlicht -> tu das.)

09.08.2011, 11:09

stevewilson

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Die Definition des Flusses satz :

$\begin{eqnarray*} \phi(t,x)=u(t;0,x) \end{eqnarray*}$ bei Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \dot{u}=f(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{0}=x \end{eqnarray*}$

Somit wäre doch $\begin{eqnarray*} \phi(0,u_{0}) = u_{0} \end{eqnarray*}$ Also mit u0, nicht mit u.....

Deine Erklärung bringt mich zu der Annahme, dass ich zumindest die additive Eigenschaft so beweisen kann:

$\begin{eqnarray*} s, t \in P \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(s, u_{0}) = \phi(t, u_{0}) = \phi(0, u_{0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi(t+s, u_{0}) = \phi(t, \phi(s, u_{0}))=\phi(t, \phi(0, u_{0}))=\phi(t, u_{0}) \Rightarrow t+s \in P \end{eqnarray*}$

edit: Moment, das bedeutet doch auch:

$\begin{eqnarray*} \phi(t+s, u_{0})=\phi(0, u_{0}) \Rightarrow t+s=0 \Rightarrow s = -t \Rightarrow -t \in P \end{eqnarray*}$

oder?

09.08.2011, 12:56

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi(t,x)=u(t;0,x) \end{eqnarray*}$ bei Voraussetzung $\begin{eqnarray*} \dot{u}=f(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_{0}=x \end{eqnarray*}$

Somit wäre doch $\begin{eqnarray*} \phi(0,u_{0}) = u_{0} \end{eqnarray*}$ Also mit u0, nicht mit u.....

Das u von dem ich geredet habe ist doch nicht das u aus dieser Definition... unglücklich

Sondern oben war u irgendein Punkt aus der Menge U (wie ich auch explizit gesagt hatte).

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \phi(t+s, u_{0}) = \phi(t, \phi(s, u_{0}))=\phi(t, \phi(0, u_{0}))=\phi(t, u_{0}) \Rightarrow t+s \in P \end{eqnarray*}$

Ja.

Zitat:

edit: Moment, das bedeutet doch auch:

$\begin{eqnarray*} \phi(t+s, u_{0})=\phi(0, u_{0}) \Rightarrow t+s=0 \Rightarrow s = -t \Rightarrow -t \in P \end{eqnarray*}$

Nein. Der Fluss ist im Allgemeinen nicht injektiv, also $\begin{eqnarray*} \phi(s,u_0) = \phi(t, u_0) \not \Rightarrow s = t \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 16:22

stevewilson

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Hi,

Zitat:

Nein. Der Fluss ist im Allgemeinen nicht injektiv

Genau der Gedanke ist mir gerade auch gekommen.

Hmm, wie beweist man das dann? Ich denke auch mit der gleichen Eigenschaft der Flüsse. Aber man muss das s und t so geschickt setzen, dass irgendwas mit -s oder -t rauskommt. Haste nochmal einen Hinweis?

09.08.2011, 18:05

gonnabphd

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Zitat:

Ich denke auch mit der gleichen Eigenschaft der Flüsse. Aber man muss das s und t so geschickt setzen, dass irgendwas mit -s oder -t rauskommt. Haste nochmal einen Hinweis?

Das siehst du alles richtig. Freude

Sei t in P. Benutze

$\begin{eqnarray*} \phi_0 = \phi_{-t} \circ \phi_{t} \end{eqnarray*}$

um zu zeigen, dass -t ebenfalls in P liegt.

09.08.2011, 21:00

stevewilson

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Hey cool, damit hab ichs:

$\begin{eqnarray*} t \in P \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \phi(0,u_{0})=\phi(-t+t,u_{0})=\phi(-t,\phi(t,u_{0}))=\phi(-t,\phi(0,u_{0}))=\phi(-t,u_{0}) \Rightarrow -t \in P \end{eqnarray*}$

korrekt?

09.08.2011, 22:03

gonnabphd

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Jup. Korrekt.

09.08.2011, 22:40

stevewilson

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Hey, endlich.

nun zu Aussage (ii) Die Gruppe $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ besteht genau aus allen Perioden von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$

Ist das nicht schon durch die Definition der Gruppe P selbst gegeben? Oder übersehe ich irgendwelche Fälle?

10.08.2011, 08:31

gonnabphd

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Ich weiss leider nicht, was da genau gemeint ist. "Besteht aus allen Perioden von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ." Wenn gemeint ist, dass mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ks \end{eqnarray*}$ für jede ganze Zahl $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ liegt, dann folgt das schon direkt aus den Gruppeneigenschaften von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$

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