Kovarianz Zufallsvektor

08.08.2011, 17:49	Marc^	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovarianz Zufallsvektor Hallo, Man nehme einen Zufallsvektor (X,Y), Dieser sei Über ein Quadrat von -1<=x<=1,-1<=y<=1 gleichmäßig und stetig verteilt. Nun möchte ich die Kovarianz berechnen. Also E[XY]-E[X]*E[Y]. Nun ist mein Problem, dass ich nciht weiß, wie man die Erwartungswerte hier formal berechnet. Intuitiv würde ich sagen, das E[X]=E[Y]=0 ist. Kann das sein? Wie berechne ich dann aber E[XY]. Beziehungsweise wie berechnet man de ´n Erwartungswert überhaupt in diesem Fall? Danke schon mal.
08.08.2011, 18:10	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovarianz Zufallsvektor Alle Erwartungswerte werden ganz normal mit der Definitionsformel des Erwartungswertes für stetige Zufallsvariablen ausgerechnet. Aus der Aufgabenbeschreibung bekommst du die die gemeinsame Dichte $\begin{eqnarray} f_{XY}(x,y) \end{eqnarray}$ des Zufallsvektors (X, Y). Mit der rechnest du $\begin{eqnarray} E(XY) \end{eqnarray}$ aus. Die Dichten $\begin{eqnarray} f_X(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_Y(y) \end{eqnarray}$ von X und Y bekommst als Randdichten der gemeinsamen Dichte. Mit den Dichten von X und Y berechnest du dann $\begin{eqnarray} E(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E(Y) \end{eqnarray}$ .
08.08.2011, 18:24	Marc^	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok mein Problem ist denke ich, dass ich nciht weiß, wie ich die Dichten berechne. Wie kann ich denn zum Beispiel fxy(x,y) aus der Aufgabe ablesen?
08.08.2011, 18:32	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Es steht doch in der Aufgabe, dass (X, Y) gleichmäßig über das Quadrat verteilt ist. Also ist die gemeinsame Dichte eine Konstante in dem Quadrat und sonst 0.. $\begin{eqnarray} f_{XY}(x,y)=c \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (X, Y) \in [-1, 1]x[-1,1] \end{eqnarray}$ Und die Konstante bekommst du aus $\begin{eqnarray} \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f_{XY}(x,y) ~dydx=1 \end{eqnarray}$ Den Wert von c sieht man natürlich auch ohne Rechnung.
08.08.2011, 18:59	Marc^	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Ich muss mich erst einmal wieder in diese Verteilungsgeschichte einfinden. Also ich bestimme das c zu 1/4. Damit ist fxy(x,y)=1/4 Dann kann ich z.B. fx(x) berechnen zu Integral über fxy(x,y) dy=1/2. Selbiges gilt für fy(y)=1/2. Dann gilt E[x]=Integral über xfx(x) dx. Damit komme ich wie erwartet auf 0. Nur wie ist jetzt E[XY] definiert? Ist da das Doppelintegral über xy dx dy. Dann würde ich auch hier wieder 0 erhalten. Also wäre die Kovarianz 0.
08.08.2011, 19:04	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist komplett richtig.
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