Fundamentalsystem

18.12.2006, 21:43

vektorraum

Fundamentalsystem

Hi!

Ich habe vlt ne triviale Frage, aber bin mir im Moment ziemlich unsicher. Sei

$\begin{eqnarray*} y_i'=\sum_{j=1}^n~a_jy_j ,~i=1,...,n,~a_j=const. \end{eqnarray*}$

eine Differentialgleichung. Gesucht ist das Fundamentalsystem. OK, mit den Begriffen weiß ich was anzufangen - Problem: Ist die darstellende Matrix dann nur ein Spaltenvektor??? Wíe bekomme ich dann ein Fundamentalsystem???
Denn eine normale Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \end{eqnarray*}$ kann man doch auch schreiben als

$\begin{eqnarray*} (a_{ij})=\sum_{j=1}^n~a_{ij},~i=1,...,n \end{eqnarray*}$

Wäre für nen Hinweis sehr dankbar Wink

18.12.2006, 21:56

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Zitat:

Original von vektorraum
$\begin{eqnarray*} y_j'=\sum_{j=1}^n~a_jy_j ,~i=1,...,n,~a_j=const. \end{eqnarray*}$

Hier stimmt eindeutig was nicht: Links $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ als Index, rechts dann als Summenindex ... Das korrigierst du noch, ja?

18.12.2006, 21:59

yeti777

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RE: Fundamentalsystem
[quote]Original von vektorraum
Hi!

Ich habe vlt ne triviale Frage, aber bin mir im Moment ziemlich unsicher. Sei

$\begin{eqnarray*} y_j'=\sum_{j=1}^n~a_jy_j ,~i=1,...,n,~a_j=const. \end{eqnarray*}$

eine Differentialgleichung. Gesucht ist das Fundamentalsystem. /quote]

Hallo Vektorraum!

Mir fällt auf, dass in der Gleichung der Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ nicht vorkommt, obwohl es heisst $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$ . Ist die Aufgabenstellung so, wie sie da steht?

gruss yeti

19.12.2006, 16:31

vektorraum

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RE: Fundamentalsystem
Hi!

Ich habe gerade gesehen, dass ich nen Fehler gemacht habe. Es muss richtig heißen:

$\begin{eqnarray*} y_i'=\sum_{j=1}^n~a_jy_j,~i=1,...,n,~a_j=const. \end{eqnarray*}$

Dann müsste es stimmen. Ich bekomme dann die dazugehörige Matrix $\begin{eqnarray*} A=(a_j) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_n \\ a_1 & a_2 & ... & a_n \\ \vdots & & \ddots & \\a_1 & a_2 &... &a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das denn richtig??? Dann heißt doch das DGL-System:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1' \\ y_2' \\ \vdots \\ y_n' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & ... & a_n \\ a_1 & a_2 & ... & a_n \\ \vdots & & \ddots & \\a_1 & a_2 &... &a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich doch ein Fundamentalsystem mit der Eigenwertmethode bekommen??? Aber das ist ja total kompliziert, wenn ich von $\begin{eqnarray*} (a_j) \end{eqnarray*}$ die Eigenwerte suche...
Ich habe mir überlegt, dass ich das für den Fall 3 mache und dann verallgemeinere... Gibt es eine elegantere Methode???

Danke für eure Hilfe Wink

19.12.2006, 16:38

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Da in

$\begin{eqnarray*} y_i' = \sum_{j=1}^n ~ a_jy_j \end{eqnarray*}$

rechts keine Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ vorliegt, folgt daraus unmittelbar

$\begin{eqnarray*} y_1' = y_2' = \cdots = y_n' \end{eqnarray*}$

und somit nach Integration

$\begin{eqnarray*} y_1 + C_1 = y_2 + C_2 = \cdots = y_n + C_n \end{eqnarray*}$

mit irgendwelchen Integrationskonstanten. Das bedeutet wiederum dann

$\begin{eqnarray*} y_1' = \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j\right) y_1 + \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j(C_1-C_j)\right) \end{eqnarray*}$

eine einfache, eindimensionale lineare Dgl.

19.12.2006, 21:02

vektorraum

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Das bedeutet wiederum dann

$\begin{eqnarray*} y_1' = \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j\right) y_1 + \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j(C_1-C_j)\right) \end{eqnarray*}$

eine einfache, eindimensionale lineare Dgl.

Danke für deine Hilfe! Ich hatte das so ungefähr auch schon mal umgeformt, aber irgendwie kam mir die Eigenwertmethode auch nicht schlecht vor, weil wir die auch gerade hatten.
Behandel ich jetzt einfach

$\begin{eqnarray*} y_1' = \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j\right) y_1 \end{eqnarray*}$

als den homogenen Teil und geh da ganz normal ran mit Lösung der homogenen Dgl und so weiter und dann Variation der Konstanten usw..???
Dann wäre doch die Dgl der homogenen Gleichung das gleiche wie

$\begin{eqnarray*} \cfrac{\dd y}{\dd x}= \left( \sum_{j=1}^n ~ a_j\right) y_1 \end{eqnarray*}$
Also letztendlich

$\begin{eqnarray*} \int \cfrac{\dd y}{y}=\int \sum_{j=1}^n ~ a_j ~\dd x~\Rightarrow~y=k \cdot \exp\left( \sum_{j=1}^n ~ a_j x\right),~k \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Edit: Hab nun schon mal ausgerechnet mit Vdk. Meine Lösung wäre dann

$\begin{eqnarray*} y_1=k\cdot\exp\left(\sum_{j=1}^n~a_jx\right)-\sum_{j=1}^n~C_1-C_j \end{eqnarray*}$

Noch eine Frage: Dann erhalte ich doch nur die Lösung für $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ , die anderen sind dann analog... Und wenn ich alle habe schreibe ich diese dann in die Matrix - meine Fundamentalmatrix??? Erhalte ich als Lösung überhaupt Lösungsvektoren?

Vielen, vielen Dank!!!

Edit: ergänzt

22.12.2006, 13:00

Sunwater

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also ich kann dir bei deiner Frage nicht weiterhelfen, weil ich es über Eigenwerte gemacht habe...

Das schöne ist, dass das Charakteristische Polynom nicht schwer zu bestimmen ist. Mach das mal für die Fälle n=2,3,4. Dann müsstest du schon was sehen. Weil bei der Berechnung der Vorfaktoren des char. Polynoms Unterdeterminanten auftreten fallen die meisten weg, denn die Untermatrizen haben alle lin. abh. Zeilen.
Als Eigenwerte bekommst immer n-1-fach die 0 und einmal die Spur der Matrix.
Jetzt überlegt man sich leicht die Lösungsvektoren... als Eigenvektoren bzw. Hauptvektoren.
Und für die Determinante bekommt man durch die Fälle n=2,3,4 schon eine Vermutung, die man durch Induktion relativ leicht beweisen kann...

vielleicht probierst du ja mal diesen weg, wenn du auf deinem nicht weiter kommst...

mfg Sunwater

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