N(0,1)

08.08.2011, 19:37

Normalverteilung

N(0,1)

Hallo,

ich hätte zu der Aufgabe ein paar Fragen:

Bei der Produktion von Bier sei der Alkoholgehalt G eines Bieres normalverteilt mit dem Erwartungswert µ=4,5% und der Varianz o^2=0,25 %^2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nciht den Qualitätsanforderungen entspricht, wenn

a)
der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres mindestens 4,1% betragen muss.

Hier komme ich auf:P(G<4,1)=0,212

b)
der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres höchstens 4,9% betragen darf.

Meine Lösung: P(G>4,9)=0,212

c)der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres im Toleranzbereich zwischen 4,25% und 4,75% liegen muss.

Hier weiß ich nicht, wie ich P mathematisch ausdrücken soll. Ich komme aber auf: P=0,618.
Das einzige, was mir einfällt und wie ich auch gerechnet habe ist:

2*P(G<4,25)=...

d) Wie müssen die Toleranzgrenzen 4,5-a und 4,5+a gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dafür dass ein Bier nciht den Qualitätsanforderungen genügt höchstens 0,002 beträgt.

Ich erhalte a=1,44.

e)

Wie viele Biere müssen bei einer Stichprobe geprüft werden, damit die Wahrscheinlichkeit ein Bier mit mehr als 5% Alkoholgehalt zu finden größer als 0,99 ist.
Hier fehlt mir der Ansatz. Kann mir da jemand helfen?

08.08.2011, 20:58

Math1986

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Re: N(0,1)

Zitat:

Original von Normalverteilung
Hallo,

ich hätte zu der Aufgabe ein paar Fragen:

Bei der Produktion von Bier sei der Alkoholgehalt G eines Bieres normalverteilt mit dem Erwartungswert µ=4,5% und der Varianz o^2=0,25 %^2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es nciht den Qualitätsanforderungen entspricht, wenn

a)
der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres mindestens 4,1% betragen muss.

Hier komme ich auf:P(G<4,1)=0,212

b)
der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres höchstens 4,9% betragen darf.

Meine Lösung: P(G>4,9)=0,212

Die Gleichung stimmt, aber ich erhalte andere Ergebnisse.
Rechne nochmal nach, wenn du nochmal das selbe Ergebnis bekommst dann poste die einzelnen Schritte

Zitat:

Original von Normalverteilung
c)der Alkoholgehalt eines qualitätsgerechten Bieres im Toleranzbereich zwischen 4,25% und 4,75% liegen muss.

Hier weiß ich nicht, wie ich P mathematisch ausdrücken soll. Ich komme aber auf: P=0,618.
Das einzige, was mir einfällt und wie ich auch gerechnet habe ist:

2*P(G<4,25)=...

Weshalb dies?
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(4,25\leq G \leq 4,75) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Normalverteilung
d) Wie müssen die Toleranzgrenzen 4,5-a und 4,5+a gewählt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, dafür dass ein Bier nciht den Qualitätsanforderungen genügt höchstens 0,002 beträgt.

Ich erhalte a=1,44.

Habe jetzt keine Zeit, dies nachzurechnen, sry

Zitat:

Original von Normalverteilung
e)

Wie viele Biere müssen bei einer Stichprobe geprüft werden, damit die Wahrscheinlichkeit ein Bier mit mehr als 5% Alkoholgehalt zu finden größer als 0,99 ist.
Hier fehlt mir der Ansatz. Kann mir da jemand helfen?

Berechne zunächst die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bier mehr als 5% hat.
Anschliessend hast du eine Stichprobe von n Bieren, die du jeweils unabhängig voneinander prüfst.
Hier brauchst du eine andere Verteilung..

09.08.2011, 08:28

Normalverteilung

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Zur a:

Ich habe gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(G<4.1)=P(\frac{G-\mu} \sigma < -0.8)=\Phi(-0.8)=1-\Phi(0.8) \end{eqnarray*}$

bei der c) ist doch auch gesucht, dass das Bier außerhalb des Toleranzbereiches liegen soll. Also wäre das auch 1- von dem, was du da stehen hast.

Zu e)

$\begin{eqnarray*} P(G>5)=0.1587 \end{eqnarray*}$
N ist Binomialverteilt mit n und p=0.1587.
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(N\ge 1)= 0.99 \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} P(N=0)=0.01 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (1-p)^n=0.1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} n\ge 27 \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 08:55

Math1986

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Zitat:

Original von Normalverteilung
Zur a:

Ich habe gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P(G<4.1)=P(\frac{G-\mu} \sigma < -0.8)=\Phi(-0.8)=1-\Phi(0.8) \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf 0,8?
$\begin{eqnarray*} \frac{4,1-\mu} \sigma=\frac{4,1-4,5}{0,25}=-1,6 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Normalverteilung
bei der c) ist doch auch gesucht, dass das Bier außerhalb des Toleranzbereiches liegen soll. Also wäre das auch 1- von dem, was du da stehen hast.

Zitat:

Original von Normalverteilung
Zu e)

$\begin{eqnarray*} P(G>5)=0.1587 \end{eqnarray*}$
N ist Binomialverteilt mit n und p=0.1587.
Gesucht ist $\begin{eqnarray*} P(N\ge 1)= 0.99 \end{eqnarray*}$ damit $\begin{eqnarray*} P(N=0)=0.01 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (1-p)^n=0.1 \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} n\ge 27 \end{eqnarray*}$

Hier komme ich auf
$\begin{eqnarray*} P(G>5)= 0,50798 \end{eqnarray*}$
Sonst ist es richtig

09.08.2011, 09:16

Normalverteilung

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Also ich glaube ich weiß, wo unserer Missverständnis liegt. Bei der Aufgabe wurde die Varianz gegeben. Das ist ja aber die Standardabweichung zum Quadrat. Also ist $\begin{eqnarray*} \sigma=0.5 \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 10:37

Math1986

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Zitat:

Original von Normalverteilung
Also ich glaube ich weiß, wo unserer Missverständnis liegt. Bei der Aufgabe wurde die Varianz gegeben. Das ist ja aber die Standardabweichung zum Quadrat. Also ist $\begin{eqnarray*} \sigma=0.5 \end{eqnarray*}$ .

Du hast geschrieben:

Zitat:

o^2=0,25 %^2

Also ist $\begin{eqnarray*} \sigma^2=0.25^2 \end{eqnarray*}$ , somit $\begin{eqnarray*} \sigma=0.25 \end{eqnarray*}$

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