Lösungsfläche

08.08.2011, 22:40

Rolf1

Lösungsfläche

Hi,

und zwar bekomme ich als Lösung einer PDGl folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=f(\frac{y+3}{x+2}) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Fläche gesucht, welche folgende Kurve enthält:

$\begin{eqnarray*} x=y=t \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} u=\frac1 {t+2} \end{eqnarray*}$ t>0.

Nun weiß ich nicht, ob diese Funktion zulässig wäre, da sie ja schon das t direkt enthält:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=\frac{y+3}{(x+2)(t+3)} \end{eqnarray*}$ .

Etwas besseres fällt mir aber im Moment absolut nicht ein.

Danke.

09.08.2011, 11:26

Huggy

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RE: Lösungsfläche

Zitat:

Original von Rolf1
Nun weiß ich nicht, ob diese Funktion zulässig wäre, da sie ja schon das t direkt enthält:

$\begin{eqnarray*} u(x,y)=\frac{y+3}{(x+2)(t+3)} \end{eqnarray*}$

Natürlich nicht! unglücklich

Gesucht ist u(x, y), nicht ein u(x, y, t).

Man muss die Funktion f bestimmen. Setze dazu die Parameterdarstellung in die Lösung der PDGl ein:

$\begin{eqnarray*} u(x, y) = u(x(t), y(t))=f(\frac{t+3}{t+2}) \end{eqnarray*}$

Andererseits soll gelten

$\begin{eqnarray*} u =\frac{1}{t+2} \end{eqnarray*}$

Durch Gleichsetzen gewinnt man die Funktion f.

09.08.2011, 11:42

Rolf1

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Das habe ich mir schon fast gedacht, dass das so nicht geht. Das mit dem gleichsetzen weiß ich. Aber ich sehe einfach nicht, wie die Funktion aussehen muss. oder kann man das algebraisch lösen.

Also ich setzte: $\begin{eqnarray*} u=\frac{1}{t+2}=f(\frac {t+3}{t+2}) \end{eqnarray*}$ . Nun brauche ich ja eine Funktion, die mir irgendwie den Zähler auf eins bringt. Aber dazu fällt mir nichts ein.

09.08.2011, 11:53

Huggy

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f ist eine Funktion von einer Variablen, nur, dass diese Variable als Funktion von anderen Variablen dasteht. Setze simpel

$\begin{eqnarray*} s=\frac{t+3}{t+2} \end{eqnarray*}$

Dann hast du

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{t(s)+2}=f(s) \end{eqnarray*}$

t(s) bekommst du, indem du obigen Ausdruck nach t auflöst.

09.08.2011, 12:07

Rolf1

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Also so ganz habe ich noch nicht verstanden, warum man das so machen kann. Aber ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} t(s)=\frac{3-2s}{s-1} \end{eqnarray*}$

Das wieder eingesetzt und rücksubstituiert:

$\begin{eqnarray*} f(\frac{t+3}{t+2})=\frac{t+3}{t+2}-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder ein Vergleich mit der Ursprungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{y+3}{x+2}-1 \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 12:15

Huggy

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Variablensubstitutionen kann man doch ganz beliebig machen. Hauptsache, sie erfüllen ihren Zweck, einen der Lösung näher zu bringen. Und man muss natürlich bei den Benennungen Konflikte vermeiden.

Jetzt bist du schon fertig! Die einzige Verschönerung wäre noch, das als einen Bruch zu schreiben. Außerdem kannst du jetzt noch die Probe machen, indem du wieder die Parametrisierung x = y = t einsetzt.

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