Wärmeleitungsgleichung Fourier

08.08.2011, 23:59

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Wärmeleitungsgleichung Fourier

Hallo,

ich habe gerade die Wärmeleitungsgleichung mit gegebenen Randbedingungen gelöst. Nun ist auch noch eine Anfangsbedingung für t=0 als Fourierreihe gegeben. Ich habe meine Lösungen überlagert und erhalte für t=0:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (C_k\cdot\cos(k\pi x))=\frac 1 2 +\frac 2 \pi \cdot \sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^m\cdot \frac{1}{2m+1}\cdot \cos((2m+1)\pi x) \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite ist die gegebene Fourierreihe. Mein Problem ist jetzt das 1/2. Wo bringe ich das unter, damit ich einfach einen Koeffizientenvergleich machen kann? Ich hoffe mal, dass ich bis zu dem Schritt überhaupt richtig gerechnet habe.

09.08.2011, 01:47

IfindU

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Damit habe ich selber nicht viel Erfahrung, aber es könnte helfen wenn du die rechte Seite etwas umschreibst: Dort durchläufst du momentan nur ungerade m (wengistens an den meisten Stellen).
Wenn du jetzt ein D_k definierst, dass für ungerade die gegebenen Koeffizienten sind und 0 sonst, hast du nichts geändert - aber du kannst D_0 statt 0 so definieren, dass der erste Summand 1/2 für alle x.

09.08.2011, 09:43

Ehos

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Die von dir angegebene Anfangsbedingung ist bekanntlich die periodische "Rechteckfunktion", die wie folgt aussieht:

In den Intervallen [-0,5+2n;0,5+2n] mit ganzzahligen n ist der Funktionwert y=1. In den "Zwischenräumen" ist der Funktionswert y=0. Da diese Funktion symmetrisch zur y-Achse liegt, verschwinden in der Fourrierreihe die Summanden mit sin(...).

Ich nehme an, dass bei deinem Wärmeleitungsproblem ein Stab mit der Länge L=1 gegeben war, der zur Zeit t=0 die obige Anfangstemperatur hatte. Wenn dies so ist, dann war die Anfangstemperatur auf der linken Stabhälfte [0;0,5] gerade T=1 und auf der rechten Stabhälfte [0,5;1] gerade T=0.

Die Tatsache, dass die Anfangsbedingung als Reihe gegeben ist, soll also nur Verwirrung stiften.

09.08.2011, 10:02

+-*/

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Also es handelt sich um 2 aneinander liegende unendlich ausgedehnte Platten der Dicke 0,5, zwischen deren Rückseite kein Wärmeaustausch stattfindet. Also der Wärmestrom an den enden ist 0. Das war gegeben.

Dann ist halt die Anfangsbedingung wie folgt gegeben:

$\begin{eqnarray*} u(x,0)=f(x) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} f(x)= 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\le x\le \frac 1 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)= 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac 1 2\le x\le 1 \end{eqnarray*}$

Dann steht als Hinweis: Die Fourier Reihe für die gerade und periodisch (mit der Periodenlänge 2) fortgesetzte Funktion f lautet.

Physikalisch würde ich das so interpretieren. Ich bringe eine heiße Platte auf eine kalte Platte. Dann gleicht sich die Temperatur langsam an.

Wie kann ich das jetzt lösen? Wie gesagt ich habe schon die Lösungen für die Randbedingungen. Mir fehlt nur noch das anpassen der Anfangsbedingung.

09.08.2011, 10:50

Ehos

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Auf den 1.Blick ist die Wärmeleitungsgleichung 3-dimensional und lautet

$\begin{eqnarray*} \dot u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz} \end{eqnarray*}$

Wenn die Platten der Dicke d=0,5 unendlich ausgedeht sind und sich entlang der yz-Ebene berühren, so findet aus Symmetriegründen kein Wärmestrom in y-Richtung und z-Richtung statt, weil in diese Richtungen kein Wärmegefälle existiert, also $\begin{eqnarray*} u_y=u_z=0 \end{eqnarray*}$ . Damit reduziert sich die obige Gleichung auf ein eindimensionales Problem. Die Platten können also wie ein Stab der Länge L=1 behandelt werden, dessen Gleichung lautet

$\begin{eqnarray*} \dot u=u_{xx} \end{eqnarray*}$

Wenn an den abgewandten Flächen kein Wärmeaustausch stattfindet (ideale Wärmeisolation), dann verschwindet dort der Wärmestrom, also die 1.Ableitung nach x. Folglich würden die Randbedingungen lauten

$\begin{eqnarray*} u_{x}(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u_{x}(1)=0 \end{eqnarray*}$

Anders liegt der Fall, wenn die abgewandten Flächen durch Kühlung auf konstanter Tempartur u=0 gehalten werden. Dann wären die Randbedingungen wie folgt:

$\begin{eqnarray*} u(0)=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u(1)=0 \end{eqnarray*}$

Wähle diejenige Randbedingung aus, die deinem Fall entspricht!

Die linke Platte (also die linke Stabhälfte) hat in deinem Falle zu Beginn die Temperatur u=1, die rechte Platte u=0 (rechte Stabhälfte). Im Fall idealer Wärmeisolation an den abgewandten Flächen wird sich in beiden Platten nach unendlich langer Zeit ein Temperaturausgleich auf u=0,5 einstellen. Werden die abgewandten Flächen dagegen auf u=0 gekühlt, wird die Tempeartur in beiden Platten nach unendlich langer Zeit überall u=0 sein.

09.08.2011, 11:16

+-*/

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Ja das mit den Randbedingungen ist mir bewusst. Zutreffend sind die ux(0)=ux(1)=0. ALs Lösung habe ich erhalten:

$\begin{eqnarray*} C\cdot\cos(k\pi x)\cdot e^{-k^2\pi^2 a^2 t} \end{eqnarray*}$

Die Wärmeleitungsgleichung war mit $\begin{eqnarray*} u_t=a^2u_{xx} \end{eqnarray*}$ gegeben. Kann das stimmen? Denn jetzt wäre die Temperatur nach unendlich langer Zeit ja auf 0. Aber ich ahbe eigentlich mal die Probe gemacht und es scheint mathematisch zu stimmen.

Nun ist ja die Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung, also kann ich schreiben:
$\begin{eqnarray*} u(x,t)=\sum\limits_{k=0}^\infty (C_k\cdot\cos(k\pi x)\cdot e^{-k^2\pi^2 a^2 t}) \end{eqnarray*}$

Und da ist jetzt genau mein Problem, wie ich jetzt die Anfangsbedingung einbringen kann.

09.08.2011, 12:59

Ehos

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Zu lösen ist also

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a^2}\dot u= u'' \end{eqnarray*}$ __________(1)

$\begin{eqnarray*} u_x(0)=u_x(1)=0 \end{eqnarray*}$ __________(2)
$\begin{eqnarray*} u(x,0)=f(x) \end{eqnarray*}$

Man löst zuerst für die Randbedingungen (2) das Eigenwertproblem

$\begin{eqnarray*} u''_k=-\lambda_k u_k \end{eqnarray*}$ __________(3)

Dessen Lösungen lauten

$\begin{eqnarray*} \lambda_k=\pi^2k^2 \end{eqnarray*}$ __________(4)
$\begin{eqnarray*} u_k= \cos(k \pi x) \end{eqnarray*}$ __________(5)

Da diese Eigenfunktionen im Intervall [0;1] ein vollständiges Funktionensystem bilden kann man die gesuchte Lösung zu jedem Zeitpunkt t entwickeln. Die Lösung existiert also als Reihe mit zeitabhängigen Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=\sum\limits_{k=0}^\infty C_k(t)\cdot u_k(x) \end{eqnarray*}$ __________(6)

Einsetzen der Reihe in die Differenzialgleichung liefert

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{a^2} \dot C_k(t) \cdot u_k(x) =\sum\limits_{k=0}^\infty C_k(t)\cdot u''_k(x) \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite ersetzen wir die 2.Ableitungen mit dem Eigenwertproblem (1) und erhalten

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{a^2} \dot C_k(t) \cdot u_k(x) =\sum\limits_{k=0}^\infty -C_k(t)\lambda_k \cdot u_k(x) \end{eqnarray*}$

Koeffizientenvergleich liefert folgende Differenzialgleichung für die Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} \dot C_k(t)+a^2\lambda_kC_k(t)=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} C_k(t)=D_k\cdot e^{-\lambda_ka^2t} \end{eqnarray*}$ _________(7)

Einsetzen von (5), (7) in (6) liefert unter Benutzung von (4)

$\begin{eqnarray*} u(x,t)=\sum\limits_{k=0}^\infty D_k(t) \cdot e^{-a^2k^2\pi^2t}\cdot \cos(k\pi x) \end{eqnarray*}$ __________(8)

Zu Beginn ist t=0, so dass in (8) die e-Funktion wegfällt und sich dann die Anfangsbedingung f(x) ergeben muss. Da diese bereits als Reihe gegeben ist, sind die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} D_k \end{eqnarray*}$ bekannt

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty D_k(t) \cos(k\pi x) \end{eqnarray*}$ __________(9)

Diese Koeffizienten $\begin{eqnarray*} D_k \end{eqnarray*}$ muss man also in (8) einsetzen und hat damit die endgültige Lösung.

09.08.2011, 13:36

+-*/

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Danke, du hast es zwar komplett anders gelöst, als ich aber scheinbar kommen wir zu dem gleichen Ergebnis. Deine Lösung gefällt mir aber ganz gut. Wir haben solche Sachen immer mit dem Produktansatz gelöst. Aber da musste noch eine recht aufwändige Fallunterscheidung für die Lambda durchgeführt werden.
Nur könntest du bitte nochmal die Stelle mit dem Eigenwert Problem detailliert erläutern. Denn ich habe das wie gesagt noch nie so gelöst.

Aber jetzt hast du doch am ende das gleiche Problem wie ich, oder? Du musst deine Reihe mit der gegebenen Vergleichen und das stört das 1/2 von der gegebenen Reihe. Oder wie würdest du das jetzt lösen?

09.08.2011, 13:55

Ehos

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Wie kommt man auf den Summanden 1/2 in der Lösung?

Der 1.Summand 1/2 in der Reihe kommt für den Index k=0 zustande. Beim nachfolgenden Summenzeichen darf man also erst bei k=1 anfangen zu zählen. Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} D_k \end{eqnarray*}$ sind dann genau diejenigen in deiner Anfangsbedingung. Du musst diese nur in meine Lösung (8) einsetzen.

Wie ist das mit dem Eigenwertproblem?

Die Motivation des Eigenwertproblem ist, dass man damit die 2.Ableitung beseitigt, wie ich es getan habe. Das Schöne an den Eigenfunktionen ist, dass sie vollständig sind, d.h. man kann im Intervall [0;1] alle Funktionen nach ihnen in einer Reihe entwickeln. Das ist ein sehr tiefliegender mathematischer Satz, der auch für viele andere Probleme gilt, wo die Eigenfunktionen nicht sin(...) und cos(...) sind, sondern komplizierter. Auf diese sog. Spektraltheorie kann ich hier nicht eingehen.

09.08.2011, 14:10

+-*/

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Wie gesagt, es wäre nett, wenn du die Schritte 2 bis 6 noch einmal ausführlicher darstellen könntest. Da konnte ich dir nciht so ganz folgen. Den Rest habe ich nachvollzogen.

Aber mit der Reihe bin ich immer noch im unklaren. Wir haben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty%20D_k(t)%20\cos(k\pi%20x)=\frac 1 2 +\frac 2 \pi \cdot \sum\limits_{m=0}^\infty (-1)^m\cdot \frac{1}{2m+1}\cdot \cos((2m+1)\pi x) \end{eqnarray*}$

Wo steckt dann jetzt auf der linken Seite das 1/2?

09.08.2011, 15:02

Ehos

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Wie ich sagte, darf der Summenindex in deinem letzten Beitrag erst bei m=1 anfangen zu zählen (nicht bei m=0), denn der 0.te Summand ist gerade das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vor dem Summenzeichen. Das muss ein Schreibfehler in der Aufgabenstellung sein! Entwickle zur Probe mal die als Anfangsbedingung gegebene Funktion f(x) mit f(x)=1 in [0;0,5] und f(x)=0 in [0,5;1] in einer Fourrierreihe. (Ich hoffe ihr habt das behandelt.) Dann kommst du exakt auf die Reihe, die Ihr als Angfangsbedingung gegeben habt.

Auf Eigenwertprobleme kann ich hier aus Zeitgründen nicht allgemein eingehen. Wichtig ist folgendes: Man kann die Eigenfunktionen $\begin{eqnarray*} u_k \end{eqnarray*}$ unter gewissen Umständen als "Basis" betrachten, bezüglich der man jede Funktion in einer Linearkombination $\begin{eqnarray*} f(x)=f_0 u_0+f_1u_1+f_3u_3+... \end{eqnarray*}$ darstellen kann, ähnlich wie bei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec x=x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3 \end{eqnarray*}$ . Deswegen sind die Eigenfunktionen so nützlich.

Die allgemeine Theorie dazu ist aber etwas kompliziert.

09.08.2011, 19:18

gonnabphd

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Zitat:

Original von Ehos
Wie ich sagte, darf der Summenindex in deinem letzten Beitrag erst bei m=1 anfangen zu zählen (nicht bei m=0), denn der 0.te Summand ist gerade das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ vor dem Summenzeichen. Das muss ein Schreibfehler in der Aufgabenstellung sein!

@Ehos: Das stimmt nicht. Beachte, dass rechts in der Reihe über Terme von der Form $\begin{eqnarray*} A_{2m+1}\cos((2m+1)\pi x) \end{eqnarray*}$ summiert wird, nicht über $\begin{eqnarray*} A_k\cos(k\pi x) \end{eqnarray*}$ .

@+-*/: Du musst zuallererst versuchen, die rechte Seite in der Form

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty B_k \cos(k\pi x) \quad \text{mit $B_k \in \mathbb R$} \end{eqnarray*}$

zu schreiben, damit du einen Koeffizientenvergleich machen kannst (dazu wirst du viele der $\begin{eqnarray*} B_k := 0 \end{eqnarray*}$ definieren müssen).

Im übrigen: Erst durch den Separationsansatz ist man ursprünglich zu der hier besprochenen orthonormalen Familie von Funktionen gekommen. Der Ansatz ist schon gut so. Vor allem wenn ihr das in der Vorlesung so gemacht habt, dann würde ich dabei bleiben (ausser du willst dir die Mühe machen, durch einen Berg Mathematik zu wühlen bevor du wieder zurück zu dieser Aufgabe kommen kannst, um's dann so wie Ehos zu lösen)

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