Volumenintegral in elliptischen Zylinderkoordinaten

18.12.2006, 22:09

el_studente

Volumenintegral in elliptischen Zylinderkoordinaten

Hallo,

folgendes Problem: es soll das Volumen des Körpers berechnet werden, welcher durch die Ungleichungen
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq z \leq \frac{1}{2} (\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} ) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Die elliptischen Zylinderkoordinaten sind:
$\begin{eqnarray*} x=a \cdot r \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ ............. $\begin{eqnarray*} y=b \cdot r \sin(\phi) \end{eqnarray*}$ ............. $\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

Die erste Ungleichung ist eine elliptische Fläche in der x-y-Ebene, die zweite Ungleichung ein ellptisches Rotationsparaboloid. Also ist der Körper ein elliptischer Zylinder mit ner Mulde (bis zum Nullpunkt) oben drin.

Habe die beiden Ungleichungen jetzt mit den ellip. Zylinderkoord. geschrieben und vereinfacht:
für die erste hab ich dann $\begin{eqnarray*} r^2 \leq 1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} r \leq 1 \end{eqnarray*}$
für die zweite hab ich $\begin{eqnarray*} 0\leq z \leq \frac{1}{2} (ar^2 \cos(\phi)^2+br^2 \sin(\phi)^2) \end{eqnarray*}$

Der Wert der Funtionaldeterminante müsste $\begin{eqnarray*} abr \end{eqnarray*}$ sein.

Dann sollte $\begin{eqnarray*} V=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{1}{2} (ar^2 \cos(\phi)^2+br^2 \sin(\phi)^2)}~abr ~dz ~dr ~d\phi \end{eqnarray*}$ sein.

Kann jemand die Grenzen bestätigen?

Die Lösung wäre $\begin{eqnarray*} \frac{ab(a+b)\pi}{8} \end{eqnarray*}$ , was ja auch von der Dimension her hinkommen würde.

DANKE

EDIT: Die Grenzen sind wohl nicht richtig.

19.12.2006, 17:16

yeti777

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RE: Volumenintegral in elliptischen Zylinderkoordinaten
Tja, el_studente!

Ich komme auf dieselben Grenzen und dasselbe Resultat. Demzufolge rechnen wir entweder beide richtig oder beide falsch verwirrt

Gruss yeti

19.12.2006, 18:16

Harry Done

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RE: Volumenintegral in elliptischen Zylinderkoordinaten
Ich habe auch die gleichen Grenzen gewählt und die selbe Lösung am Ende herraus. Die Jacobideterminate habe ich auch so ausgerechnet wie du.Wenn es drei Leute haben dann wird das wohl so richtig sein oder passt das nicht mit einer vorgegebenen Lösung?

Gruß Jan

19.12.2006, 19:41

el_studente

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Hm...........O.K., DICKES DANKE!
Dann wird dass so richtig sein. Wäre wirklich sehr unwahrscheinlich, dass drei Leute genauso falsch rechnen.
Eine vorgegebene Lösung habe ich leider nicht. War mir nicht sicher, ob ich den gefragten Körper berechnet habe oder eher den aus dem elliptischen Zylinder ausgeschnittenen Teil.

Aber haben nicht beide eh das Gleiche Volumen? verwirrt

19.12.2006, 20:16

yeti777

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Zitat:

Original von el_studente
Dann wird dass so richtig sein. Wäre wirklich sehr unwahrscheinlich, dass drei Leute genauso falsch rechnen.

Ich musste schmunzeln Augenzwinkern

, als ich diese Antwort las. Auch 100 Leute können falsch rechnen, wenn sie von den falschen Annahmen ausgehen! Natürlich hoffe ich, dass wir richtig liegen. Aber wohl ist mir erst, wenn ein gestandener Profi unser Resultat bestätigt. Ich weiss nämlich nicht, wie man mathematisch schlüssig zeigt, dass das Resultat richtig ist.

Gruss yeti

19.12.2006, 20:28

el_studente

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Ja, mir wäre dann auch erst richtig wohl.
Das kann man doch bestimmt von irgendeinem Matheprogramm rechnen lassen.

03.05.2010, 09:57

Korolew

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Ich erlaube mir, diese Leiche wieder auszugraben:

ist es bei den Zylinderkoordinaten nicht, so, dass
dV = r*dr * d PHI * d z
gilt?

also müsste über

a*b*r * r

integriert werden, oder?

bitte nicht steinigen.

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