Integral über Bereich lösen

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18.12.2006, 22:33	Sida	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Bereich lösen Hi, ich komme einfach nicht auf die Lösung folgender Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} B \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ der Bereich, der von den Kurven $\begin{eqnarray} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1, \quad\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 4,\quad ay + bx = 0,\quad ay - bx = 0 \end{eqnarray}$ im ersten und vierten Quadranten begrenzt wird. Berechne: $\begin{eqnarray} \int_B (1 - \frac{y}{x})^2 d(x,y) \end{eqnarray}$ Mein Ansatz: Ich wollte das in Polarkoordinaten lösen. Die letzten beiden Geradengleichungen begrenzen den Winkel. Die ersten beiden Ellipsen den Radius. Mein Problem ist irgendwie, den Radius zu definieren. Also welche Integrationsgrenzen ergeben sich denn aus den Ellipsen? Wäre super wenn mir jemand helfen könnte - ich glaube durch mein vieles rumprobieren stehe ich voll auf der Leitung
18.12.2006, 23:03	Sida	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohoh, ich merke gerade, daß ich auf dem Holzweg war (ich wollte den Flächeninhalt ausrechnen). Aber weiter bin ich immer noch nicht. Wenn ich erst das Volumen berechne, welches von der äußeren Ellipse begrenzt wird und dann das, welches von der inneren begrenzt wird davon abziehe habe ich immer noch das Problem, daß ich den Bereich, der von den Geraden "abgeschnitten" wird nicht so ohne weiteres abziehen kann. Da muß es doch eine elegantere Lösung geben als so nach und nach etwas zu subtrahieren?
18.12.2006, 23:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das richtig sehe, kannst du dein $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ so parametrisieren: $\begin{eqnarray} B = \Big\{ (ra\cos\varphi,rb\sin\varphi) \Big\| 1\leq r\leq 2,\; -\frac{\pi}{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4} \Big\} \end{eqnarray}$ Mit dem Begriff "Polarkoordinaten" würde ich aber vorsichtig sein: Diese Interpretation trifft nur auf den Sonderfall $\begin{eqnarray} a=b \end{eqnarray}$ zu, im allgemeinen Fall $\begin{eqnarray} a\neq b \end{eqnarray}$ sind die Winkel "verzerrt". Aber rechnen kann man trotzdem mit dieser Parametrisierung, auch wenn der direkte geometrische Bezug des Winkels $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ fehlt. Wenn du von Volumen sprichst, bin ich allerdings nicht ganz im Bilde. Da fehlen wohl ein paar Infos in deinen Beiträgen...
19.12.2006, 12:17	jamira	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum ist $\begin{eqnarray} -\frac{\pi}{4} \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ hängt doch von a und b ab. Müßte es nicht eher $\begin{eqnarray} -\arctan \frac{b}{a} \leq \varphi \leq \arctan \frac{b}{a} \end{eqnarray}$ heißen?
19.12.2006, 13:31	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, eben nicht, wegen der Verzerrung der Winkel - habe ich doch eben erklärt, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ nicht der tatsächliche Polarkoordinatenwinkel ist!!! Wenn du es nicht glaubst, dann setze mal $\begin{eqnarray} \varphi=\pm\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} (ra\cos\varphi,rb\sin\varphi) \end{eqnarray}$ und überzeuge dich selbst davon, dass diese Punkte dann auf den Geraden $\begin{eqnarray} ay \mp bx = 0 \end{eqnarray}$ liegen.
19.12.2006, 14:28	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn man das Integral gemäß der Transformationsformel für Bereichsintegrale nach Arthurs Vorschlag berechnet, erhält man einen Integranden der Form $\begin{eqnarray} f(r,\varphi) = g(r) \cdot h(\varphi) \end{eqnarray}$ so daß man die Integrationen über $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und über $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ wunderhübsch trennen kann; schließlich sind ja die Integrationsgrenzen konstant. Und auch die verbleibenden eindimensionalen Integrale lassen sich leicht lösen. Beim einzigen Summanden, der auf den ersten Blick etwas Probleme machen könnte, braucht man auf den zweiten Blick nicht einmal eine Stamfunktion, weil er eine ungerade Funktion darstellt. Also ich habe etwas mit $\begin{eqnarray} \tan^2{\varphi} \end{eqnarray}$ bekommen - und das ist wirklich harmlos, wenn man an die Ableitung der Tangensfunktion denkt.
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19.12.2006, 14:46	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@Arthur, Frage betreffs verzerrtem Winkel: Bedeutet das, dass man bei "verallgemeinerten Polarkoordinaten" den Winkel aus einer gegebenen Beziehung berechnen muss, hier in unserem Fall zB.: $\begin{eqnarray} ay+bx=0\Rightarrow arbsin(\phi)+bracos(phi)= abr(sin(\phi)+cos(\phi))= 0\Rightarrow cos(phi)+sin(phi)=0\Rightarrow phi = -\frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ (unter der Annahme, dass wir uns im 4. Quadranten befinden)? Gruss yeti
19.12.2006, 14:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an, was du mit "den Winkel" meinst. $\begin{eqnarray} r,\varphi \end{eqnarray}$ sind hier nur die Parametrisierung des Gebiets, es sind keine Polarkoordinaten. Vielleicht hätte ich sie $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ nennen sollen.
19.12.2006, 14:54	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es erraten! "Winkel" ist nicht das richtige Wort. Ich meinte den zweiten Parameter (nebst r). Zusatzfrage: Nachdem Ellipsen und elliptische Zylinder doch hin und wieder auftauchen, gibt es einen Namen für diese Koordinatentransformation? Gruss yeti
19.12.2006, 15:07	el_studente	Auf diesen Beitrag antworten »
Das erinnert mich alles sehr an diesen Thread: Volumenintegral in elliptischen Zylinderkoordinaten Falls da doch nochmal jemand drauf schauen möchte.............
19.12.2006, 15:32	yeti777	Auf diesen Beitrag antworten »
@el_studente: Ich werde mich an deiner Aufgabe versuchen, wenn ich kann. Aber im Moment muss ich noch die vorliegende verdauen. Ich habe ein Resultat, sieht aber nicht so hübsch aus. Kontrolle nötig. Gruss yeti

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