\frac{2x}{1-x^2} = \pm\infty

09.08.2011, 11:42

p123

\frac{2x}{1-x^2} = \pm\infty

Meine Frage:
Warum ist das so? Kann mir vielleicht helfen? Vielen lieben Dank.

Meine Ideen:
Wenn ich mir die Reihe für
$\begin{eqnarray*} \left|x\right|<1 \end{eqnarray*}$
angucke, habe ich nur
$\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{2y}{1-y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(1-\left(-1\right)^{n}\right)\cdot y^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (1-1)\cdot 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +(1+1)\cdot y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +(1-1)\cdot y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +(1+1)\cdot y^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +\left(1-\left(-1\right)^{n}\right)\cdot y^{n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \infty \end{eqnarray*}$

Edit (jester): Latex-Klammern gesetzt. Diese müssen mit einem Slash / beendet werden, nicht mit einem Backslash \

09.08.2011, 14:38

p123

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RE: \\frac{2x}{1-x^2} = \pm\infty/
Frage:
Warum ist das so?
$\begin{eqnarray*} \frac{2x}{1-x^2} = \pm\infty \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 14:41

phlowe

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Das ist nicht so... die umformung die du am anfang machst gelten nur für |x|<1.
Und für diese x geht deine ausgeschriebene Summe eben nicht gegen unendlich.

09.08.2011, 14:43

Helferlein

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Ich könnte mir vorstellen, dass es ihm um den Grenzwert für $\begin{eqnarray*} x\rightarrow0 \end{eqnarray*}$ geht, aber was das mit Reihen oder den obigen Umformungen zu tun haben soll ist mir ebenso schleierhaft.

EDIT: Dann wäre der Grenzwert aber nicht unendlich, sondern 0 von verschiedenen Seiten kommend. Kann es also auch nicht sein

09.08.2011, 15:06

Klocke

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Hallo, so wie ich das verstehe, schreibst Du am Anfang:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (1-(-1)^n) \cdot y^n = \frac{2y}{1-y^2} \end{eqnarray*}$

Ich habe einmal einen Induktionsanfang gemacht:
$\begin{eqnarray*} n = 0: \sum\limits_{n=0}^0 (1-(-1)^0) \cdot y^n \Leftrightarrow 0 \cdot y^n = 0 \end{eqnarray*}$

Man kann wohl kaum sicher behaupten, dass $\begin{eqnarray*} 0 = \frac{2y}{1-y^2} \end{eqnarray*}$

Wenn Du also unter falschen Voraussetzungen auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kommst, wundert das schon einmal nicht. Ob die Voraussetzungen falsch sind, liegt aber daran, was y ist.

09.08.2011, 15:12

phlowe

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Was tust du da Klocke? Worauf willst du mit deiner induktion hinaus?

09.08.2011, 15:17

Klocke

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Zitat:

Original von phlowe
Was tust du da Klocke? Worauf willst du mit deiner induktion hinaus?

Ich wollte schauen, ob die erste Gleichung überhaupt stimmt. Schließlich wird hier ein Term einfach mit einer Summe gleichgesetzt. Das müsste man erst einmal zeigen. Aber dazu müsste y = 0 sein für n = 0, damit zumindest mal der Anfang stimmt.

09.08.2011, 15:19

phlowe

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Die erste Gleichheit stimmt für |y|<1. siehe geometrische reihe

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\frac{2x}{1-x^2} = \pm\infty

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