Injektive Abbildung

09.08.2011, 13:53

BigSmile

Injektive Abbildung

Meine Frage:
Hallo!
Ich will zeigen, dass wenn die Abb. f und g injektiv sind, auch die Komposition injektiv ist.
$\begin{eqnarray*} f:A \to B,g:B \to C \end{eqnarray*}$
Kann ich das so machen?

Meine Ideen:
Für f injektiv und x aus A gilt: $\begin{eqnarray*} x_{1} =x_{2} \Rightarrow f(x_{1} )=f(x_{2} ) = y_{1} =y_{2} \end{eqnarray*}$
Aus g injektiv und y aus B gilt: $\begin{eqnarray*} y_{1} =y_{2} \Rightarrow g(y_{1} )=g(y_{2} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f \circ g \end{eqnarray*}$ injektiv

09.08.2011, 14:29

Helferlein

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RE: Injektive Abbildung

Zitat:

Original von BigSmile
Meine Ideen:
Für f injektiv und x aus A gilt: $\begin{eqnarray*} x_{1} =x_{2} \Rightarrow f(x_{1} )=f(x_{2} ) \end{eqnarray*}$
Aus g injektiv und y aus B gilt: $\begin{eqnarray*} y_{1} =y_{2} \Rightarrow g(y_{1} )=g(y_{2} ) \end{eqnarray*}$

Und wo fließt da die Injektivität ein?
Was Du aufgeschrieben hast, heisst in etwa $\begin{eqnarray*} 1=1\Rightarrow f(1)=f(1) \end{eqnarray*}$ und das gilt elementar für jede beliebige Funktion.

09.08.2011, 14:50

BigSmile

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RE: Injektive Abbildung
Was müsste ich ändern?
Das die Implikationen für alle x aus den jeweiligen Mengen gilt?

09.08.2011, 15:37

Pascal95

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Hallo,

ich gehe mal davon aus, dass du die Komposition $\begin{eqnarray*} (g\circ f) (x) \end{eqnarray*}$ als „g nach f“, also $\begin{eqnarray*} g(f(x)) \end{eqnarray*}$ , kennengelernt hast (es gibt abweichende Definitionen).

Dann passen Definitions- und Wertebereich ja.

Gehe nun so vor:

Wähle beliebig $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in \mathbb D_f = A \end{eqnarray*}$ .

Zeige nun $\begin{eqnarray*} g(f(a_1))= g(f(a_2))\ \Rightarrow \ a_1=a_2 \end{eqnarray*}$ .

So geht man ja schließlich immer vor, wenn man Injektivität zeigen möchte Augenzwinkern

Nun, was weißt du über $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ?
...
Dann steht da $\begin{eqnarray*} f(a_1)= \end{eqnarray*}$ ...

Und was weißt du über $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ?

Dann ....

Viel Erfolg,
hoffentlich habe ich nicht zu viel verraten....

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