Bijektion zeigen

09.08.2011, 15:21

BigSmile

Bijektion zeigen

Meine Frage:
Hallo!
Wenn ich eine Bijektion von $\begin{eqnarray*} \mathbb N _{0} \times \mathbb N _{0} \to \mathbb N, (m,n) \to 2^{m}(2n+1) \end{eqnarray*}$ zeigen möchte, sollte ich das über vollständige Induktion nach m und nach n machen??

Meine Ideen:
Danke für Eure Hilfe!!

09.08.2011, 15:27

tmo

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Du brauchst keine vollständige Induktion. Zeige Injektivität und Surjektivität einzeln.

Ist beides aber gar nicht so leicht. Man braucht die eine oder andere Idee.
Von der Anschauung her ist die Aussage aber klar: Jede Zahl lässt sich in eindeutiger Weise als Produkt einer ungeraden Zahl und einer 2er-Potenz schreiben.

09.08.2011, 15:29

phlowe

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Ich würde einzeln injektivität und surjektivität zeigen. Aber wenn du schon ideen zu deiner induktion hast schreib die doch mal auf...

edit: zu spät

09.08.2011, 15:36

BigSmile

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Okay das würde ja dann von der Behauptung so aussehen:

Surjektiv: $\begin{eqnarray*} \forall m,n\in \mathbb N_{0} \exists y\in \mathbb N : f(m,n)=y \end{eqnarray*}$

Injektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall m_{1},m_{2},n_{1},n_{2}\in \mathbb N_{0} : (m_{1} ,n_{1})= (m_{2} ,n_{2})\Rightarrow f((m_{1} ,n_{1}))=f((m_{2} ,n_{2})) \end{eqnarray*}$

Was wäre denn jetzt das Problem daran?
Ich weiß nicht richtig wie ich am besten darangehe?

09.08.2011, 15:38

tmo

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Das Problem ist zunächst, dass deine Definitionen von Surjektivität und Injektivität völlig falsch sind.

09.08.2011, 15:55

BigSmile

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Und was ist daran falsch??

09.08.2011, 16:02

phlowe

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a=b => f(a)=f(b) gilt allgemein für alle funktionen....

09.08.2011, 16:04

BigSmile

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Zitat:

Original von phlowe
a=b => f(a)=f(b) gilt allgemein für alle funktionen....

Das sollte nicht der Fehler sein, so steht es z.B. in Analysis I von Barner und Flohr.

09.08.2011, 16:09

phlowe

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Ich bin mir ziemlich sicher, dass dort f(a)=f(b) => a=b steht...

09.08.2011, 16:13

BigSmile

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Überzeug dich selbst:

09.08.2011, 16:16

phlowe

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Du verarscht mich oder? Da steht doch genau das in Worten was ich geschrieben habe:

Zitat:

f: A->B heißt injektiv wenn aus f(x_1)=f(x_1) folgt, dass x_1=x_2

09.08.2011, 16:24

BigSmile

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ach mist hab mich total verhauen. . . sorry
gut das wäre dann klar aber was ist an surjektiv falsch?

09.08.2011, 16:28

phlowe

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link

09.08.2011, 16:35

BigSmile

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Gut dann nochmal von vorn:

Surjektiv: $\begin{eqnarray*} \forall y\in \mathbb N \exists (m,n)\in \mathbb N_{0} \times \mathbb N_{0} : f(m,n)=y \end{eqnarray*}$
Injektiv:
$\begin{eqnarray*} \forall m_{1}, m_{2}, n_{1}, n_{2} \in \mathbb N _{0}\times \mathbb N _{0} : f(m_{1},n_{1})=f(m_{1},n_{1})=f(m_{2},n_{2})\Rightarrow (m_{1}, n_{1})= (m_{2} n_{2}) \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 21:23

phlowe

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ja dass sieht doch schonmal besser aus. dann versuch dich doch mal an einem von beidem. ich würde mit der surjektivität anfangen...
hast du irgendwelche ideen? was bedeutet denn die aussage anschaulich?

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