Integration durch Substitution

09.08.2011, 16:17

JaMan

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Integration durch Substitution

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gelöst. Jedoch ist das Ergebnis falsch. :-/
Wo habe ich meinen Fehler gemacht?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_a^b \! f(x)\frac{1}{(2-x)^3} \, dx <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=2-x <br /> dx=\frac{dz}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_a^b \! f(x)\frac{1}{z^3} \,*\frac{dz}{2} <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_a^b \! f(x)\frac{1}{z^3} \,*\frac{dz}{2} <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{1}{2}*(\frac{1}{z^3}+c) <br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{2}*(\frac{1}{z^3}+c)=\frac{1}{2*z^3}+\frac{1}{2}c <br /> \end{eqnarray*}$

Die Lösung lautet jedoch

$\begin{eqnarray*} <br /> F(x)=\frac{1}{2*(2-x)^2} <br /> \end{eqnarray*}$

Wäre dankbar für eure Hilfe

09.08.2011, 16:19

JaMan

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RE: Integration durch Substitution
Das Integral ist ein unbestimmtes Inegral!!!

09.08.2011, 16:31

Johnsen

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_a^b \! f(x)\frac{1}{(2-x)^3} \, dx <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

ich denke du meinst

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! \frac{1}{(2-x)^3} \, dx \end{eqnarray*}$

Also ohne das f(x), oder?

Die Substitution kannst du so machen, jedoch ist dann dein Ersetzen von dx falsch, da deine Ableitung dz/dx falsch ist!

Gruß

Johnsen

09.08.2011, 16:55

JaMan

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Integration durch Substitution
Ja richtig ohne dem f(x)

wieso ist dz/dx falsch?

09.08.2011, 17:00

Johnsen

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naja, leite doch z mal nach x ab und diesmal richtig ;-)
Was ist eine Konstante abgeleitet und was gibt -x abgeleitet?

$\begin{eqnarray*} z=2-x \Rightarrow \frac{dz}{dx}\,=\,... \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 17:07

JaMan

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Also -x abgeleitet ergibt -1 Big Laugh

Big Laugh

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09.08.2011, 17:12

Johnsen

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siehst du dann deinen Fehler? Ersetze dx richtig im Integral, und dann hast du ein leicht zu lösendes Integral, wenn du drandenkst dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^a}\,=\,x^{-a} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \int x^b\,dx\,=\,\frac{1}{b+1}\cdot x^{b+1}+C \end{eqnarray*}$

Dannach Resubstitution und schon hast dus :-)

Gruß

Johnsen

09.08.2011, 17:20

JaMan

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ich versteh immer noch nicht wieso

z=dz/dx nicht richtig ist.

muss ich da etwas spezielles machen? ich muss eigentlich ja nichts anderes machen als das dx zu ersetzen.
Wie man integriert weiß ich ja^^

09.08.2011, 17:39

Johnsen

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naja, weil die Ableitung falsch ist :-)

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}\,=\,\frac{d}{dx}\left(2-x\right)\,=\,\frac{d}{dx}\left(2\right)-\frac{d}{dx}\left(x\right) \end{eqnarray*}$

Die Ableitungen sind ja elementar und daher sollte man die druafhaben!

Gruß

Johnsen

09.08.2011, 17:48

JaMan

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ahhhhh so muss man das machen. ich dummi :S

kann ich jetzt auch ausrechnen ?

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{2d}{dx}-\frac{dx}{dx}= \frac{2}{x}-1 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 17:50

Johnsen

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nein .. leider immer noch falsch ... was ist denn die Ableitung einer Konstanten??

Das 2 steht ja hier für eine Konstante! Der zweite Teil der Ableitung hast du richtig, den ersten nicht!

09.08.2011, 18:01

JaMan

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ich glaube so langsam leuchtet es mir ein :P

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{dz}{dx} = \frac{d}{dx}*(2-x) \end{eqnarray*}$

so und wenn ich z, also (2-x) jetzt ableite dann bekomme ich ja für -x -1 raus und für 2 bekomme ich 0 raus

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{0}{dx}-1 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

09.08.2011, 18:03

Johnsen

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ja, genau, ober um es kurz zu machen:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}\,=\,-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du ja weiterintegrieren und hoffentlich aufs richtige Ergebnis kommen :-)

09.08.2011, 18:13

JaMan

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Also kann ich theoretisch statt dem dx die -1 hinschreiben ?

kann ich danach dann schon rücksubstitutionieren? und fertig ist es?

09.08.2011, 18:15

Johnsen

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anstatt dx musst du -dz schreiben. Dann integrierst du nach z, substituierst zurück und fertig!

09.08.2011, 18:29

JaMan

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Ich verstehe das nicht.

So müsste das ganze ungefähr jetzt aussehen

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_a^b \! \, \frac{1}{z^3} *(-dz) <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

wie kann ich das integrieren wenn aufeinmal ein minus davor steht?

09.08.2011, 18:32

Johnsen

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naja du kannst das minuns doch vor das Integral ziehen, ist ja nichts weiter als -1*dz.

Zitat:

Original von JaMan
Wie man integriert weiß ich ja^^

Dann leg jetzt mal los!

09.08.2011, 18:37

JaMan

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muss das etwa so dann sein?

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \int_a^b \! \, \frac{1}{z^3} *(-dz)=\frac{\ z^2}{2}= \frac{\frac{(2-x)^2}{2} }{2}= 2*(2-x)^2 <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

natürlich kommt da noch die 1 über den ganzen kram. hab das mit dem formeleditor so nicht hinbekommen : /

10.08.2011, 00:10

Johnsen

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also deine Rechnung ist verwirrend.

Wir sind doch jetzt soweit:

$\begin{eqnarray*} -\int \frac{1}{z^3}\,dz\,=\,-\int z^{-3}\,dz \end{eqnarray*}$

Jetzt nach der normalen Integralregel rechnen (hab ich dir gepostet vorhin) und dann kommt man (nach Resubstitution) genau auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2\cdot (2-x)^2} \end{eqnarray*}$

Auch wenn du schreibst "natürlich kommt da noch die 1 über den ganzen kram." dann müsste nach deiner Rechnung eine 4 stehen (2*2).

Gruß

Johnsen

10.08.2011, 10:21

JaMan

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oh okay. dann hab ich wohl was falsch gemacht.

eine Frage hab ich jedoch noch

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> \frac{dz}{dx}=\frac{d(2-x)}{dx}=-1 <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

wenn man jetzt aber nach dz umstellt dann ist

$\begin{eqnarray*} <br /> <br /> dz\neq -1<br /> \end{eqnarray*}$

Wieso verschwindet das Minus-Zeichen vor dem Integral nach der Rücksubstitution?

10.08.2011, 10:28

Johnsen

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Versteh nicht ganz was du meinst, wir haben ja folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx}\,=\,-1\rightarrow dx\,=\,-dz \end{eqnarray*}$

Das setzt man jetzt ein! und das Minus verschwindet wieder, da ja die Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{z^3}\,dz\,=\,-\frac{1}{2z^2} \end{eqnarray*}$

Und dann ist

$\begin{eqnarray*} -\int\frac{1}{z^3}\,dz\,=\,\frac{1}{2z^2} \end{eqnarray*}$

oder anders gesagt: weil - mal - + ergibt ;-)

Jetzt alles klar?

Gruß

Johnsen

10.08.2011, 10:54

JaMan

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ah stimmt ja ^^ dx=-dz jetzt hab ichs auch gerafft Big Laugh

Big Laugh

Also wenn

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{z^3}\,dz\,=\,-\frac{1}{2z^2} \end{eqnarray*}$

würde das ja nur stimmen wenn dz=(-dz). Sonst wäre es mir ein Rätsel, woher das Minus kommt.

Wenn jetzt dz immer noch (-dz) wäre, dann wäre es logisch für mich. Denn in der Tat ist -mal- +^^

$\begin{eqnarray*} -\int\frac{1}{z^3}\,dz\,=\,\frac{1}{2z^2} \end{eqnarray*}$

Angenommen das würde jetzt stimmen was ich hier geschrieben habe. Dann versteh ich immmer noch nicht wieso aufeinmal 2 Minuszeichen drin sind, weil wir haben eigentlich nur im dz ein Minus.

10.08.2011, 11:02

Johnsen

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Es ist doch ganz einfach:

Beim Integrieren einer Funktion mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^a}\,\,mit\,\, a\geq 2 \end{eqnarray*}$ kommt immer ein - als Vorzeichen mit rein, oder anders ausgedrückt, wenn du eine Funktion ableitest, wie z.B.
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , dann kommt ja auch immer ein - mit rein! da haben wir schonmal das erste -. und das zweite kommt eben dann von deiner Ersetzung dx=-dz. Da hast du deine beiden.

und wenn gelten WÜRDE dz=-dz, dann muss daraus folgen, dass dz = 0 ist, was schwachsinn ist!

Mach dir klar, was das Integral von

$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{z^3}\,dz \end{eqnarray*}$

ist, bzw. wie man da draufkommt.

Gruß

Johnsen

10.08.2011, 11:35

JaMan

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Also das versteh ich

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{z^3}=z^{-3}= \frac{z^{-3+1}}{-3+1}=-2z^{-2}=\frac{1}{-2z^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$

ja dx=dz
und mein dz=-1 . Kann man das dann auch so hinschreiben?
$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{} \! \,\frac{1}{z^3} (-dz) <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

dann tut man das Minus vor dem dz vor dem integral und dann integriert man 1/z^3 ?

10.08.2011, 11:37

Johnsen

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Deine Rechnung ist ziemlicher quatsch!! Du musst wenn dann schon ein Integral vorne hinschreiben!!

$\begin{eqnarray*} <br />\int \frac{1}{z^3}\,dz=\int z^{-3}\,dz= \frac{z^{-3+1}}{-3+1}=\frac{z^{-2}}{2}=\frac{1}{-2z^{2} } <br /> \end{eqnarray*}$

Und nochmals: $\begin{eqnarray*} dz \not = -1 \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} dx=-dz \end{eqnarray*}$ !!

Und ja, das minus kannst du rausziehen und dann integrieren. Deswegen kommt ja auch 2 mal das minus vor! Einmal durch die Ersetzung von dx und einmal durchs integrieren!

10.08.2011, 11:59

JaMan

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Ja ich hab das integral nicht hingeschrieben....wenn eins dagewesen wäre, wäre es richtig gewesen.

Ich schreibe jetzt auf wie ich es verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{} \! \, \frac{1}{z^3} (-dz) =-\int_{} \! \, \frac{1}{z^3} dz <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt integrieren.

$\begin{eqnarray*} <br /> -\int_{} \! \, \frac{1}{z^3} dz = -1*\frac{1}{-2z^2}= \frac{1}{2z^2} <br /> \end{eqnarray*}$

Und nun Rücksubstitutionieren. Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{2z^2}=\frac{1}{2(2-x)^2} <br /> \end{eqnarray*}$

denn z=2-x

10.08.2011, 12:00

Johnsen

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So sieht das schon sauberer und richtig aus! Freude

Freude

10.08.2011, 12:04

JaMan

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Yeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeahhhhhh!!!!
Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Tanzen

Großes Dankeschön! smile

smile

10.08.2011, 12:07

Johnsen

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Einwas noch, damits gar super gut wird ;-)
Da es sich um ein unbestimmtes Integral handelt, schreibt man immer noch + C für eine beliebige Konstante dahinter. Freude

Freude

Ich würde dir empfehlen ein wenig zu Üben mit der Substitution! Gibt sicherlich etliche Übungsaufgaben im Internet, denn Übung macht den Meister!

10.08.2011, 12:14

JaMan

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Stimmt das c fehlt^^

Keine Sorge ich hab noch 11 weitere Aufgaben vor mir^^ Die eine oder andere Aufgabe wird sicherlich auch hier wieder landen :P

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