Grenzwertbestimmung?

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18.12.2006, 23:07	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertbestimmung? Hat jemand eine Ahnung wie man von folgendem Ausdruck den Grenzwert bestimmen kann? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^n~ \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \end{eqnarray}$ Mit dem Summenzeichen davor komme ich gar nicht zu recht!!!
18.12.2006, 23:15	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung? Und was sagt Dir der Begriff Reihe?
18.12.2006, 23:29	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
@tigerbine Eine Reihe ist das nicht, weil die Summanden vom oberen Summationsindex abhängen. @truariger-igel Vielleicht kann man geeignet abschätzen und dann das Einschließungskriterium (oder "Sandwich-Lemma") benutzen. Auf jeden Fall gilt z.B. schonmal für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\leq \sum_{k=1}^n~\frac{n}{n^2+k^2}\leq 1 \end{eqnarray}$ . Gruß MSS edit: Mit Integralabschätzungen sollte man zum Ziel kommen!
18.12.2006, 23:39	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn man die Schranken $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ durch ein paar nette, feiner abgeschätzte Integrale ersetzt, dann wird das Sandwich ziemlich dünn. Im Grenzwert sogar sehr dünn...
18.12.2006, 23:39	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzwertbestimmung? @ tigerbine Daran habe ich auch schon gedacht z. B. so: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^n~ \frac{n}{n^{2} + k^{2}} = \lim_{n \to\infty } \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{n +\frac{k^{2}}{n} } \end{eqnarray}$ Dann Könnte ich vielleicht mit $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray}$ schon mal begründen das sie kvgt. Aber was mache ich nun mit dem lim. Ich denke mal dass der Ausdruck wohl irgendeinen festen Wert als Grenzwert besitzt.
18.12.2006, 23:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
@MSS: Ich habe deswegen, nach dem Begriff der Reihe gefragt http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik) Mit schien es hier, da so seltsam nach dem Summenzeichen gefragt wurde, das sowohl der Begriff Reihe sowie Folge unklar ist
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18.12.2006, 23:47	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Tigerbine Hätte es auch so formulieren können, dass mich der lim vor der Reihe verwirrt. @ Arthur Dent Mit den Integralen verstehe ich nicht Recht, denke auch nicht das wir´s damit lösen sollen, haben in der Vorlesung noch erst kürzlich mit der Integralrechnung begonnen.
18.12.2006, 23:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist heute schon der zweite Thread, wo sich Leute aus ideologischen Gründen der Integralverwendung verweigern - als ob das kein Gymnasialstoff ist. Dann musst du eben anders auf die $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ kommen.
18.12.2006, 23:52	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
@trauriger-Igel: ok, dann verwirrt dich der Limes. Aber was dahinter keine Reihe. Da muss ich MSS schon recht geben In deiner Aufgabe ist also nach dem Grenzwert der Folge der Partialsummen gefragt.
18.12.2006, 23:53	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, jetzt hab ich grad erst mein Beitrag editiert, nachdem ich den Thread solange geöffnet hatte, weil ich noch überlegt hab, und jetzt sind schon fünf neue Beiträge da. :o Naja, immerhin hab ich die Integralabschätzung und den Grenzwert $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4} \end{eqnarray}$ auch noch selbst gefunden. @trauriger-igel So schlimm ist diese Integralabschätzung überhaupt nicht. Du betrachest deine Summe einmal als Ober- und ein anderes Mal als Untersumme eines Integrals. Gruß MSS
18.12.2006, 23:56	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
War doch nicht bös gemeint! Deine Ergebnis schaut gut aus, hab in einem Buch gesehen dass, $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~ \frac{1}{k^{2} } = \frac{\pi^{2}}{6} \end{eqnarray}$ ist. Aber leider stand nicht dabei wie man darauf kommt. Und was muss ich nun integrieren?
19.12.2006, 00:00	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist auch eine ganz andere Sache. Im Prinzip ist das sogar noch schwieriger zu beweisen, aber das gehört ja jetzt nicht hierhin. Betrachte deine Summe für festes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ einmal als Untersumme des Integrals $\begin{eqnarray} \int_0^n~\frac{n}{n^2+x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray}$ und einmal als Obersumme von $\begin{eqnarray} \int_1^{n+1}~\frac{n}{n^2+x^2}~\mathrm dx \end{eqnarray}$ . Dabei sind die jeweiligen Intervalllängen immer $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Eine Skizze dazu wäre sinnvoll, dann siehst du auch, welche Ungleichungen da warum gelten etc.! Gruß MSS
19.12.2006, 00:19	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
@ Mathespezialschüler Hast z.B. für die Untersummer auch so gerechnet? $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~F_k x_k = \sum_{k=1}^n~ \frac{n^{2} }{k^{2}} * \frac{a}{n} = ... = \int_{b}^{a}~\frac{n}{n^{2} + k^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$
19.12.2006, 00:26	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Untersumme wählt man, wie eigentlich auch schon gesagt, die äquidistante Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray} [0,n] \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} [1,n+1] \end{eqnarray}$ in Intervalle der Länge $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ . Also $\begin{eqnarray} [0,n] \end{eqnarray}$ z.B. unterteilst du in $\begin{eqnarray} [0,1]\ ;\ [1,2]\ ;\ [2,3]\ ;\ \ldots\ ;\ [n-1,n] \end{eqnarray}$ . Verfeinert wird danach nichts mehr. Das macht man einfach für jedes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und schätzt die zugehörige Untersumme gegen das Integral ab. Gruß MSS
19.12.2006, 00:50	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleiner Schreibfehler jetzt stimmts: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~F_k x_k = \sum_{k=1}^n~ \frac{n }{k^{2}+ k^{2} } * \frac{a}{n} = ... = \int_{b}^{a}~\frac{n}{n^{2} + k^{2}} ~dx \end{eqnarray*}$
19.12.2006, 01:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau wird das? Gruß MSS
19.12.2006, 07:20	trauriger-igel	Auf diesen Beitrag antworten »
Bekammen in der Volesung erst kürzlich soein Beispiel vorgeführt, in welchen mittels Ober- Untersumme der Wert eines Interals bestimmt wurde. $\begin{eqnarray} \int_{b}^{a}~x~dx = a(b-a)+\frac{(b-a)^{2}}{2} \end{eqnarray}$ Oder bin ich so auf dem Holzweg? Gruß
19.12.2006, 08:44	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wüsste nicht, was das jetzt mit unserem Integral zu tun hat. Es geht um echte Unter- und Obersummen, da kannst du nicht mit Gleichsetzungen operieren. Sondern nur mit Ungleichungen der Form Untersumme < Integralwert < Obersumme wobei Unter- und Obersumme mit Schrittweite 1 gebildet werden... Aber eigentlich wiederhole ich nur MSS, der hat das bereits gut erklärt.

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