n!/(n^n) konvergente Reihe?

09.08.2011, 19:23

LyriaEL

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n!/(n^n) konvergente Reihe?

Hallo

Ich arbeite gerade alte Prüfungen als Vorbereitung durch und bin dabei auf folgende Aufgabe gestossen:

Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz, und begründen Sie Ihre Antwort:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n!}{n^{n} } <br /> \end{eqnarray*}$

meine Überlegung soweit:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n!}{n^{n} } = \frac{1}{n} *\frac{2}{n} * ... *\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Damit ist die dazugehörige Folge eine Nullfolge und konvergent. Leider darf ich das ja nicht auf die Reihe schliessen.

Ein anderer (kurioserer) Ansatz ist der Folgende.
Offensichtlich gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n^{n} }{n^{n} } \geq \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray*}$

Also müsste doch auch: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n^{n} }{n^{n} } \geq \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray*}$

mir ist schon klar dass n^n/n^n = 1 ist, aber so sieht es ziemlich einleuchtend aus und damit hätte ich Majorante, oder?

Vielen Dank und Liebe Grüsse
Lyri

09.08.2011, 19:25

LyriaEL

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Ich habe gerade meinen Denkfehler gesehen mit der Majorante... das ist keine da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{n^{n} }{n^{n} } \end{eqnarray*}$ offensichtlich NICHT konvergiert... unglücklich

unglücklich

Ah, meine letzte Vermutung (Wolfram|Alpha sieht das zwar anders...):

Die Reihe konvergiert gar nicht, sonder ist divergent.

09.08.2011, 19:27

jester.

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Versuch doch mal das Quotientenkriterium. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.08.2011, 20:07

LyriaEL

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Hallo Jester

Das habe ich schon versucht. Das Resultat war 1 somit ist keine Aussage über die Konvergenz möglich, oder?

Ich werde es aber noch einmal nachrechnen, vielleicht habe ich ja einen Fehler gemacht.

09.08.2011, 20:09

jester.

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So wie ich das sehe, ist das Ergebnis nicht 1. Präsentiere doch deinen Rechenweg hier, dann können wir den Fehler suchen.

09.08.2011, 20:20

LyriaEL

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*mitLatexRumhandier...* smile

smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n+1} }{a_{n} } | = \lim_{n \to \infty } | \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1} } }{\frac{n!}{n^{n} } } | = \lim_{n \to \infty } | \frac{n^{n}*(n+1)! }{(n+1)^{n+1}*n! } | = \lim_{n \to \infty } | \frac{n^{n}*(n+1) }{(n+1)^{n+1} }| = \lim_{n \to \infty } | (\frac{n}{n+1} )^{n} | = \lim_{n \to \infty } |( \frac{1}{1 + \frac{1}{n} }) ^{n} | = 1 \end{eqnarray*}$

So.. ich hoffe es stimmt alles

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09.08.2011, 20:23

jester.

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Da hast du ein bekanntes Resultat der Analysis I vergessen: $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(1+ \frac 1 n\right)^n = e \end{eqnarray*}$ , d.h. dein Grenzwert ergibt $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ und dies ist kleiner als 1.
Man kann sozusagen die zwei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht unabhängig voneinander gegen unendlich gehen lassen.

09.08.2011, 21:11

LyriaEL

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Oh... oups... klar, sowas hätte ich wissen müssen.

Ich bin den Rest grad noch am raustüfteln, aber schon einmal ein riesen grosses dickes Dankeschön im Voraus =)

09.08.2011, 21:26

Iorek

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Fehlt da nicht eine Klammer mit Exponentem bei dem Grenzwert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.08.2011, 21:50

jester.

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Zitat:

Original von Iorek
Fehlt da nicht eine Klammer mit Exponentem bei dem Grenzwert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Danke, ich korrigiere den Fehler. Freude

Freude

09.08.2011, 21:53

LyriaEL

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So, da bin ich wieder...

@Iorek
Wo meinst du?

@Jester
Ich befinde mich noch immer in einem Wechselzustand von "ah! ist ja alles vollkommen klar!" und "och ne, das geht ja doch nicht..."

Also hier meine neusten Errungenschaften Augenzwinkern

Augenzwinkern

Etwas salopp notiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{1+\frac{1}{n} } )^n = \frac{1}{e^\infty } = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn das so passt, dann weiss ich anhand des Quotientenkriterums dass die Reihe konvergiert.

09.08.2011, 21:57

jester.

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Zitat:

Original von LyriaEL
So, da bin ich wieder...

@Iorek
Wo meinst du?

Er meinte bei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1 n\right)^n \end{eqnarray*}$ die Klammern $\begin{eqnarray*} (...)^n \end{eqnarray*}$ ; sie fehlten in meinem Beitrag, inzwischen habe ich sie aber ergänzt.

Zitat:

Etwas salopp notiert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{1+\frac{1}{n} } )^n = \frac{1}{e^\infty } = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn das so passt, dann weiss ich anhand des Quotientenkriterums dass die Reihe konvergiert.

Das ist nicht salopp notiert, es ist einfach nur falsch. Beachte: konvergiert eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gegen einen Wert $\begin{eqnarray*} 0\neq a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , so konvergiert die Folge $\begin{eqnarray*} \frac 1 {a_n} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac 1 a \end{eqnarray*}$ .

09.08.2011, 21:58

LyriaEL

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Ahh... schon wieder falsch!

Jetzt weiss ich auch was Iorek mit der Klammer gemeint hat! Hammer

Hammer

Nochmals:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (\frac{1}{1+\frac{1}{n} } )^n = \lim_{n \to \infty } \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n } = \frac{1}{e } \end{eqnarray*}$

09.08.2011, 22:00

jester.

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Richtig. Falls du das Thema Folgen noch einmal Revue passieren lassen möchtest, findest du vielleicht [WS] Folgen hilfreich.

09.08.2011, 22:01

LyriaEL

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Stimmt... den Satz hab ich heute noch gelesen... verwirrt

verwirrt

*schäm*
Aber stimmts von der Notation aus so wie ich es gemacht habe?
Stimmt es überhaupt?

09.08.2011, 22:04

LyriaEL

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Ah super!

Jester, du bist ein Schatz! Mit Zunge

Mit Zunge

Vielen vielen Dank für deine Hilfe
Und vielen Dank für deine Geduld

Ich wünsch Dir noch einen ganz schönen Abend ! Prost

Prost

09.08.2011, 22:08

gonnabphd

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Übrigens hätte dich deine erste Überlegung auch ans Ziel führen können:

Zitat:

meine Überlegung soweit: $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n!}{n^{n} } = \frac{1}{n} *\frac{2}{n} * ... *\frac{n}{n} \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Man müsste bloss eine kleine Verfeinerung einbringen:
$\begin{eqnarray*} \frac{n!}{n^n} = \left(\frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}\right)\cdot \frac 3n \cdots \frac{n}{n}\le \frac 2{n^2} \end{eqnarray*}$

Deshalb $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n} \le2 \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^2} \end{eqnarray*}$

Es wäre also eigentlich alles da gewesen, man muss es nur sehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.08.2011, 22:09

jester.

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Zitat:

Original von LyriaEL
Aber stimmts von der Notation aus so wie ich es gemacht habe?
Stimmt es überhaupt?

Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty}\left( \frac{1}{1+\frac 1 n } \right)^n=\frac 1 e \end{eqnarray*}$ stimmt, und auch die Gleichung, die du zuletzt notiert hast. Um darzulegen (falls es sich um eine abzugebende Übungsaufgabe handelt), dass die Gleichung richtig ist, berufe dich auf diesen Satz, dass $\begin{eqnarray*} \frac 1 {a_n} \end{eqnarray*}$ unter den genannten Voraussetzungen gegen $\begin{eqnarray*} \frac 1 a \end{eqnarray*}$ konvergiert und dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac 1 n \right)^n=e \end{eqnarray*}$ . Das sollte als Begründung ausreichen.

09.08.2011, 22:15

LyriaEL

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@gonnabphd
Oh, ... sowas.
Mit den Majoranten bin ich eigentlich immer auf Kriegsfuss, aber das scheint mir sogar einleuchtend o.O
Vielleicht sollte ich mich doch mal mit ihnen vertragen Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Jester
Danke das du mir das noch einmal zusammengefasst hast. Wie gesagt, es ist eine alte Prüfungsaufgabe (von der Prüfung durch die ich durchgerasselt bin unglücklich

unglücklich

). Ich muss deswegen nicht einfach eine Lösung, sonder eine 'saubere' Lösung aufschreiben können.
Wie gesagt, ich bin dir extrem dankbar für deine Hilfe. Ich sehe sogar schon wieder Hoffnung smile

smile

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