Reihenentwicklung

09.08.2011, 20:04

kurzfrage

Reihenentwicklung

Meine Frage:
Hallo

Die Entwicklung von Sinh(z) in der Null lautet ja: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ .

Nur wie schauts aus wenn ich zum Beispiel eine Entwicklung in der 2 haben möchte?

Meine Ideen:
Gerade nicht wirklich welche. Aber konvergieren tut sie ja eigentlich in ganz C.?
Muss man eine komplett neue Entwicklung über Taylor ansetzten,gibts vielleicht einen einfachen Trick, oder ist es sogar überhaupt nicht möglich(muss doch eigentlich überall möglich sein auf grund der Konvergenz in ganz C oder)?

09.08.2011, 20:36

schultz

Auf diesen Beitrag antworten »

ich würde sagen das sähe dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(z-2)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

korrigiert mich wenn ich mich irre

09.08.2011, 20:49

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von schultz
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(z-2)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon, dass die Summationsindizes hier und im ersten Beitrag nicht stimmen, kann man auch nicht einfach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (z-2) \end{eqnarray*}$ ändern, um eine andere Entwicklung zu erhalten.
Es gilt jedoch der Transformationssatz für Potenzreihen:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n (z-z_0)^n \end{eqnarray*}$ eine komplexe Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ und Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R>0 \end{eqnarray*}$ . Dann existiert zu jedem $\begin{eqnarray*} z_1 \in K_R(z_0)=\{x\in \mathbb{C} ~|~ |x-z_0|<R\} \end{eqnarray*}$ eine Potenzreihe $\begin{eqnarray*} g(z)=\sum_{n=0}^\infty b_n (z-z_1)^n \end{eqnarray*}$ mit Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und Konvergenzradius größer gleich $\begin{eqnarray*} r:=R_|z_1-z_0|>0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(z)=g(z) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in K_r(z_1) \end{eqnarray*}$ .

Dem Beweis dieses Satzes entnimmt man, dass diese Reihe gerade gegeben ist durch $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty b_k(z-z_1)^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} b_k=\sum_{n=k}^\infty \binom {n}{k} (z_1-z_0)^{n-k} \end{eqnarray*}$ .

Dieses Ergebnis lässt sich natürlich auf die reellen Zahlen einschränken.

09.08.2011, 21:13

kurzfrage

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke dir.
(Summen sollten von Null starten)

09.08.2011, 21:17

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von kurzfrage
(Summen sollten von Null starten)

Das ist eigentlich herzlich egal. Viel frappierender ist, dass (a) über k summiert wird, dann aber kein k mehr auftaucht und (b) nur bis n (und nicht unendlich) summiert wird.

Neue Frage »

Antworten »

Reihenentwicklung

Verwandte Themen