Messbarkeit

10.08.2011, 11:18	kabu	Auf diesen Beitrag antworten »
Messbarkeit Meine Frage: Beweise: Sei u beschränkt, messbar dann folgt Tu beschränkt und messbar. Wobei T ein lineare Operator ist. $\begin{eqnarray} u_{N, \Pi}= T_{f_0}\cdot\, \cdots\, \cdot T_{f_N-1}u \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Beschränktheit ist klar, u beschränkt, lineare Operator auch beschränkt folgt Tu beschränket. aber wie soll man die messbarkeit beweisen?? EDIT Duedi: Latex verbessert
11.08.2011, 10:32	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
So wie es da steht , ist es falsch. Betrachte etwa den Ableitungsoperator D. Dieser Operator ist linear, (aber nicht stetig). Dann gibt es Funktionen u mit $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ist beschränkt aber $\begin{eqnarray} Du \end{eqnarray}$ ist unbeschränkt. Beispiel etwa : $\begin{eqnarray} u : (0,a) \to \mathbb{R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u(x) = x^\frac{3}{2}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \end{eqnarray}$ Kannst Du die Aufgabe eventuel im originalen Wortlaut posten?
13.08.2011, 10:23	kabu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Mazze!! Die Aufgabe ist schon richtig gestellt, aber kann man die anders formulieren und zwar: Sei M eine Menge von messbaren und beschränkten Funktionen in X (X ist Zustandsraum mit \sigma Algebren). T sei lineare Operator und u eine Funktion aus M. Dann: TM \subseteq M folgt Tu \in M, d.h. für jedes u \in M gilt Tu \in M. Ich warte auf dein Vorschlag.
13.08.2011, 10:56	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} T : M \to M \end{eqnarray}$ ist, dann gilt immer $\begin{eqnarray} T(M) \subset M \end{eqnarray}$ . Das ist eine grundlegende Eigenschaft von Funktionen. Da brauchts keine Messbarkeit oder Beschränktheit für. Die Frage ist eher, ob für deinen linearen Operator tatsächlich $\begin{eqnarray} T : M \to M \end{eqnarray}$ ist.
13.08.2011, 12:30	kabu	Auf diesen Beitrag antworten »
essbarkeit Hallo Mazze!! Dieses Beweis brauch ich später um andere Beweis zu machen. Der ganze Sachverhalt sieht so aus: Beweise: u bschränkt, messbar folgt Tu beschränkt messbar (allgemein) Weiterhin T lineare Operator mit $\begin{eqnarray} T_f u(x) = k(x, f(x)) + \alpha \int q(dx'\| x, f(x))u(x') \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{N, \Pi} := T_{f_0}... T_{f_{N-1}} u \end{eqnarray}$ wobei: k...Kosten q...Übergangswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \Pi =(f_n)_{n \in N_0} \end{eqnarray}$ ... belibige Strategie und u^* ist eine beschränkte Lösung der Optimalitätsgleichung, d.h. $\begin{eqnarray} u^ = Tu^* \end{eqnarray*}$
13.08.2011, 12:34	kabu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion $\begin{eqnarray} \begin{eqnarray}<br /> u_{N, \Pi}(x_0) &=& k(x_0, f_0(x_0)) + \alpha \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) k(x_1, f_1(x_1)))\nonumber\\<br /> &+& \alpha^2 \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) \int q(dx_2\| x_1, f_1(x_1)) k(x_2, f_2(x_2))\nonumber\\ <br /> &+ ... +& \alpha^N \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0))\cdot ... \cdot \int q(dx_N\| x_{N-1}, f_{N-1}(x_{N-1})) k(x_N, f_N(x_N))\nonumber\\<br /> &+& \alpha^{N+1} \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) \cdot ... \cdot \int q(dx_{N+1}\| x_N, f_N(x_N)) u(x_{N+1})\nonumber\\<br /> &\underbrace{=}_{S. v. Ionescu-Tulcea}& \sum\limits_{n=0}^N \alpha^n \E_{x_0, \Pi} k(X_n, f_n(x_n)) + \alpha^{N+1} \E_{x_0, \Pi} u(X_{N+1})\nonumber\\<br /> &=& \E_{x, \Pi}\sum\limits_{n=0}^N \alpha^n k(X_n, f_n(x_n)) + \alpha^{N+1} \E_{x_0, \Pi} u(X_{N+1})\nonumber<br /> \end{eqnarray} \end{eqnarray}$ Das soll ichauch mit Hilfe von vollständige Induktion(rückwärts) beweisen.
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13.08.2011, 15:47	kabu	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollstandige Induktion Hallo Mazze!! vielleicht kannst du mir mit diese Aufgabe Helfen? Beweise mittels vollständige Induktion: $\begin{eqnarray} u_{N, \Pi}(x_0) = k(x_0, f_0(x_0)) + \alpha \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) k(x_1, f_1(x_1)))<br /> + \alpha^2 \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) \int q(dx_2\| x_1, f_1(x_1)) k(x_2, f_2(x_2)) + ... + \alpha^N \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0))\cdot ... \cdot \int q(dx_N\| x_{N-1}, f_{N-1}(x_{N-1})) k(x_N, f_N(x_N)) + \alpha^{N+1} \int q(dx_1\| x_0, f_0(x_0)) \cdot ... \cdot \int q(dx_{N+1}\| x_N, f_N(x_N)) u(x_{N+1}) \underbrace{=}_{S. v. Ionescu-Tulcea} \sum\limits_{n=0}^N \alpha^n \E_{x_0, \Pi} k(X_n, f_n(x_n)) + \alpha^{N+1} \E_{x_0, \Pi} u(X_{N+1}) = \E_{x, \Pi}\sum\limits_{n=0}^N \alpha^n k(X_n, f_n(x_n)) + \alpha^{N+1} \E_{x_0, \Pi} u(X_{N+1}) \end{eqnarray}$

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