isolierte Singularität

10.08.2011, 13:19

Gast11022013

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isolierte Singularität

Meine Frage:
Ich habe mal eine Frage zu hebbaren Singularitäten und dem Riemann'schen Hebbarkeitssatz.

Und zwar verstehe ich nicht, wie bei der konkreten Bestimmung der Funktion, die eine andere (gegebene) Funktion fortsetzt, der Riemann'sche Hebbarkeitssatz von Bedeutung ist.

Unklar, was ich meine? Dann mal ein

Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} f:K_{\pi}(0)\backslash\left\{0\right\}\longrightarrow \mathbb C, f(z):=\frac{z}{\sin(z)} \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 0}f(z)=\lim_{z\to 0}\frac{z}{\sin(z)}=1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} z\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Daher ist $\begin{eqnarray*} g(z):=1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(z):=\frac{z}{\sin(z)} \end{eqnarray*}$ die Funktion, die f fortsetzt.

Deswegen ist 0 eine hebbare Singularität.

Doch was hat dies nun mit dem Riemann'schen Hebbarkeitssatz zu tun? Dort im Beweis ist ja ganz allgemein $\begin{eqnarray*} g(z):=\sum_{n=2}^{\infty}a_n(z-a)^{n-2} \end{eqnarray*}$ als Fortsetzung von f genannt.

Kann man diese allgemeine Angabe auch benutzen um jeweils in konkreten Aufgaben eine Fortsetzung zu finden oder nutzt einem diese Darstellung als Potenzreihenentwicklung in konkreten Aufgaben nicht viel und wurde nur im Beweis des Riemann'schen Hebbarkeitssatzes "konstruiert" um zu zeigen, daß es unter den Voraussetzungen des Satzes jedenfalls immer eine Fortsetzung gibt (wie diese dann auch konkret aussehen mag...)?

Meine Ideen:
Der Riemann'sche Hebbarkeitssatz sagt einem doch bei diesem Beispiel "nur", daß es eine Fortsetzung geben muß, denn 0 ist ja hier offensichtlich Riemann-Punkt von f.

Aber mehr sagt einem der Satz meines Wissens nicht. Deswegen meine Frage, ob man den Satz (bzw. den Beweis des Satzes, s.o.) verwenden kann, um auch eine Fortsetzung zu finden.

10.08.2011, 13:57

sergej88

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Hallo,

so wie ich den Riemannschen Hebbarkeitssatz kenne liefert dir dieser ein Kriterium dafür, wann es eine Fortsetzung gibt. Genauer musst du dann überprüfen ob die Funktion in einer Umgebung der isolierten Singularität beschränkt bleibt.
Dieses hilft natürlich erstmal nicht weiter die explizite Fortsetzung zu finden.

Schauen wir genauer hin so setzen wir die fragliche Funktion $\begin{eqnarray*} f: U \backslash \{z_0\} \longrightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit der Sinularität $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ wie folgt fort:
$\begin{eqnarray*} g(z) = \begin{cases}f(z) &, z \neq z_0 \\ \underset{z \rightarrow z_0}{\lim}f(z) &, z = z_0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das interessante ist es also eine einfache Bedingung zu finden, dass der obige Grenzwert existiert.
In der Praxis helfen häufig auch Potenzreihen und so weiter.
Ich hoffe das hilft schonmal weiter.

Edit: Genauso interessant ist es dann auch, dass diese Fortsetzung analytisch ist.
mfg

10.08.2011, 14:01

Gast11022013

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Ja, das hilft schon.
Denn das bestätigt meine Vermutung, daß der Riemann'sche Hebbarkeitssatz einem "nur" sagt, wann es eine solche Fortsetzung gibt, daß man damit aber nicht konkret zu einer solchen Fortsetzung kommt.

Nur indirekt:
Man muss also immer ein bisschen rumprobieren bzw., wie Du gesagt hast, es irgendwie hinbekommen, daß obiger Grenzwert existiert.

Edit: Analytisch bedeutet doch, daß man die Funktion in eine Potenzreihe entwickeln kann?

10.08.2011, 14:03

sergej88

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Das hinbekommen ist nicht der Punkt.
Der Satz liefert dir ja gerade unter passenden Vorraussetzungen, dass der Grenzwert existiert!
Umgekehrt liefert dir ja auch die Existenz einer Fortsetzung auch, dass die Vorraussetzungen des Satzen erfüllt sein müssen.

In der Praxis haben mir sehr häufig Potenzreihen geholfen. Alternativ kann man häufig solche Ausdrücke auch versuchen in Differenzquotienten umzuschreiben. Dann hat man auch bereits gewonnen.

edit: bei komplex differenzierbaren Funktionen ist analytisch und holomorph dasselbe. In der Literatur werden gelegentlich beide Begriffe in diesem Zusammenhang synonym verwendet.

mfg

10.08.2011, 14:07

Gast11022013

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Zitat:

Original von sergej88

Schauen wir genauer hin so setzen wir die fragliche Funktion $\begin{eqnarray*} f: U \backslash \{z_0\} \longrightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit der Sinularität $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ wie folgt fort:
$\begin{eqnarray*} g(z) = \begin{cases}f(z) &, z \neq z_0 \\ \underset{z \rightarrow z_0}{\lim}f(z) &, z = z_0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das interessante ist es also eine einfache Bedingung zu finden, dass der obige Grenzwert existiert.

Was meintest Du dann mit "eine einfache Bedingung finden, dass der obige Grenzwert existiert"?

Kann man immer diese Fortsetzung wie hier definiert benutzen?

Irgendwie durchblicke ich es anscheinend noch nicht ganz so.

Edit:

Achso, Du meinst: Der Riemann'sche Hebbarkeitssatz liefert ein einfaches Kriterium dafür, daß obiger Grenzwert existiert, nämlich, daß die fortzusetzende Funktion in einer Umgebung um die Singularität beschränkt ist.

10.08.2011, 14:21

sergej88

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Freude

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10.08.2011, 14:25

Gast11022013

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Dann habe ich es verstanden, welchen Zweck dieser Satz erfüllt.

Bei meinem Beispiel oben ist das ja der Fall: Die Funktion ist in der Kreisscheibe um den Punkt 0 mit Radius $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ beschränkt.

Also existiert der Limes (hier 1) und man kann die Funktion g wie oben definieren.

Danke!
Wink

Wink

10.08.2011, 14:40

sergej88

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Da du dich wahrscheinlcih auf eine Prüfung vorbereitest solltest du dir überlegen, ob dieses die einzig mögliche Fortsetzung ist.

mfg

10.08.2011, 16:03

Gast11022013

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Ist die Fortsetzung nicht eindeutig?

10.08.2011, 16:06

sergej88

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Das ist eine Frage an dich...

10.08.2011, 16:10

Gast11022013

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unglücklich

Die ich nicht beantworten kann.

10.08.2011, 16:11

sergej88

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Dann denk ein wenig nach. Was will man von der Fortsetzung haben. Welche Eigenschaften hat diese?

mfg

10.08.2011, 16:15

Gast11022013

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Was man von der Fortsetzung haben will?

Sie soll erfüllen:

1.) $\begin{eqnarray*} g|_{U\backslash\left\{a\right\}}=f \end{eqnarray*}$

2.) differenzierbar auch im Punkt a

10.08.2011, 16:29

sergej88

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Punkt 2 impliziert auch die Stetigkeit. Und was ist dieses gerde für eine Bedingung? Drück diese mal explizit aus, dann wirst du sehen was ich meine.

mfg

10.08.2011, 16:45

Gast11022013

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Meinst Du:

Zitat:

Wiki
Eine Funktion f ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn der Grenzwert von f für $\begin{eqnarray*} x\to x_0 \end{eqnarray*}$ existiert und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ gilt oder wenn $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein isolierter Punkt ist.

?

Das ist also quasi die stetige Fortsetzung und die muss ja zwangsläufig eindeutig sein.

10.08.2011, 17:02

sergej88

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ja, es gilt:

$\begin{eqnarray*} g(a) = \underset{z \rightarrow a}{\lim}g(z) = \underset{z \rightarrow a}{\lim}f(z) \end{eqnarray*}$

und genau so haben wir doch die Funktion f, in dem fraglichen Punkt a fortgesetzt. Wegen der Stetigkeit haben wir aber eh nur eine einzige Möglichkeit dazu.

Die Frage war es also, ob diese Möglichkeit funktioniert, welches gerade wieder der Hebbarkeitssatz beantwortet.

Andersrum: Ist g eine solche Fortsetzung, so gelten obige Überlegungen und damit existiert der Grenzwert von f gegen den Punkt a. Insbesondere ist also f in einer Umgebung von a beschränkt.

Insgesamt ist die Existenz eienr Fortsetzung äquivalent dazu, dass die Funktion in einer Umgebung der isolierten Singularität beschränkt bleibt.

PS: Das geht aber gerade nur gut, weil wir holomorphie auf dem Rest vorraussetzen.

mfg

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