Parameteriesuerung Kurvenintegral

26.06.2004, 17:02	twoways	Auf diesen Beitrag antworten »
Parameteriesuerung Kurvenintegral Hallo, ich habe glaube ich einen Fehler in der Parameteriesierung gemacht. Aber hier erstmal, díe Aufgabe: $\begin{align} \Bigint_{\gamma}~(2xe^x^2cos y~dx - e^x^2sin y~dy) \end{align}$ mit $\begin{align} \gamma = \(\array{cos t + e^t^2sin t\\tsin^2t}\) \end{align}$ $\begin{align} 0 \leq t \leq \pi \end{align}$ dann schnell prüfen, obs Wegunabhängig ist. Also einfach zusammenhängendes Gebiet. In diesesm Fall ist dem so. Mein Ansatz zur Parameterisierung: $\begin{align} \gamma(0) = (\array{1\\0}) \end{align}$ und $\begin{align} \gamma(\pi) = (\array{e^\pi^2\\\pi}) \end{align}$ So daraus die zwei Abschnitte: $\begin{align} \gamma_1(t) = (\array{t\\0}) \end{align}$ $\begin{align} \gamma_1^'(t)(\array{1\\0}) \end{align}$ $\begin{align} 1 \leq t \leq e^\pi^2 \end{align}$ $\begin{align} \gamma_2(t)(\array{e^\pi^2\\t}) \end{align}$ $\begin{align} \gamma_2^'(t)(\array{0\\1}) \end{align}$ $\begin{align} 0 \leq t \leq \pi \end{align}$ So das sind meine zwei Kandidaten für das anschließende Integrieren. Sieht da schon jemand einen Fehler? Weiter gehts mit: $\begin{align} \Bigint_{\gamma}~v~dx =\Bigint_{\gamma_1}~v_1(\gamma_1(t))\gamma_1^'(t)~dt + \Bigint_{\gamma_2}~v_2(\gamma_2(t))\gamma_2^'(t)~dt \end{align*}$
26.06.2004, 17:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Differentialform $\begin{align} \omega \ = \ 2xe^{x^2} \cos{y} \ dx \ - \ e^{x^2} \sin{y} \ dy \end{align}$ ist exakt, d.h. es existiert eine reellwertige Funktion F=F(x,y) mit $\begin{align} dF \ = \ \omega \end{align}$ , und zwar ist das $\begin{align} F(x,y) \ = \ e^{x^2}\cos{y} \end{align}$ $\begin{align} dF \ = \ F_x \ dx + F_y \ dy \ = \ 2xe^{x^2} \cos{y} \ dx \ - \ e^{x^2} \sin{y} \ dy \ = \ \omega \end{align}$ In einem solchen Fall ist das Integral wegunabhängig. Du kannst den Wert wie gewöhnlich mit Hilfe der Stammfunktion F berechnen, es kommt nur auf den Anfangs- und Endpunkt deiner Kurve an. Der Anfangspunkt der Kurve ist $\begin{align} \gamma(0) \ = \ (1,0) \end{align}$ . Den Endpunkt hast du nicht richtig berechnet. Er ist (beachte $\begin{align} \sin{\pi} = 0 \ , \ \cos{\pi} = -1 \end{align}$ ) $\begin{align} \gamma(\pi) \ = \ (-1,0) \end{align}$ Daher gilt: $\begin{align} \Bigint_{\gamma}^{}~~\omega \ = \ F(-1,0) \ - \ F(1,0) \ = \ e-e \ = \ 0 \end{align}$
26.06.2004, 18:12	twoways	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, wieso ich den Endpunkt so falsch berechnet habe, verstehe ich beim besten willen nicht... Irgendwie muss ich da vom Nachbarsrasenmähn verwirrt wurden sein....

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