Untergruppe endlich erzeugbar

10.08.2011, 22:16	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe endlich erzeugbar Es gilt, dass jede Untergruppe einer endlich erzeugbaren abelschen Gruppe endlich erzeugbar ist. Gilt das auch allgemein für alle Gruppen? Also gilt, dass jede Untergruppe einer endlich erzeugbaren Gruppe endlich erzeugbar ist?
11.08.2011, 01:33	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aussage ist für endlich erzeugte Gruppen falsch. Ist nämlich $\begin{eqnarray} F(\{a,b\}) \end{eqnarray}$ die von zwei Elementen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ erzeugte freie Gruppe, so enthält diese freie Untergruppen von jedem abzählbaren Rang, folglich auch eine, die von abzählbar unendlich vielen Elementen frei erzeugt wird. (leider habe ich dafür keinen schönen Beweis gefunden, aber unter Wikipedia findest du unter "free group" die entsprechenden Aussagen). Dass diese Untergruppe aber nicht endlich erzeugbar ist, kannst du relativ leicht beweisen: Die Abelianisierung einer abzählbar unendlich erzeugten freien Gruppe ist nämlich eine freie abelsche Gruppe A mit abzählbar unendlich vielen Erzeugern (dass endlich viele nicht gehen, kannst du dann z.B. zeigen, indem du mit $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ tensorierst und den entsprechenden Vektorraum über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und entsprechend seine Dimension betrachtest). Gruß, Carsten

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