Eigenwert einer Matrix

11.08.2011, 05:01

maik198331

Eigenwert einer Matrix

Meine Frage:
o.k. , folgendes Problem:

Welche Eigenwerte einschließlich ihrer Vielfachheit hat A?
$\begin{eqnarray*} A=E+aa^T \end{eqnarray*}$ E ist die n,n-Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray*} a\in R^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hmmm...hab nur die lösung, für ideen wie ich darauf komme wäre ich sehr dankbar.
die lösung ist: $\begin{eqnarray*} \lambda=1+a^Ta \end{eqnarray*}$ mit vielfachheit 1
$\begin{eqnarray*} \lambda2=1 \end{eqnarray*}$ mit vielfacheit n-1

11.08.2011, 08:47

phlowe

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Wie beginnt man denn normalerweise bei Eigenwerten? Und welche eigenschaft hat $\begin{eqnarray*} aa^{t} \end{eqnarray*}$ ?

11.08.2011, 08:53

Ehos

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Die Eigenwerte deiner Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1+a^2 & & \\ & ... & \\ & & 1+a^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a=\vec a \vec a^T \end{eqnarray*}$ sind die Lösungen der algebraischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1+a^2-\lambda & & \\ & ... & \\ & & 1+a^2-\lambda \end{vmatrix}=(1+a^2-\lambda)^n=0 \end{eqnarray*}$ . Also muss gelten $\begin{eqnarray*} \lambda=1+a^2 \end{eqnarray*}$

11.08.2011, 09:01

phlowe

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@ehos: Bist du dir sicher dass die Matrix so ausieht?
Wir rechnen doch spalten*zeilenvektor.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1*a_1 & a_1*a_2 \\a_2*a_1 & a_2*a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder bin ich jetzt grade total bekloppt?

edit: und dann natürlich noch plus die einheitsmatrix

11.08.2011, 09:54

Ehos

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@phlowe
Danke für den Hinweis. Da die Summe $\begin{eqnarray*} A=E+\vec a \vec a^T \end{eqnarray*}$ eine Matrix sein soll, müssen beide Summanden auf der rechten Seite ebenfalls Matrizen sein. Der 1.Summand ist die Einheitsmatrix E. Beim 2.Summand müsste man anstelle von $\begin{eqnarray*} \vec a \vec a^T \end{eqnarray*}$ eigentlich schreiben $\begin{eqnarray*} E\cdot \vec a \vec a^T \end{eqnarray*}$ , wobei man die Einheitsmatrix E einfach weglässt. Ich finde diese Schreibweise auch fragwürdig, weil man nicht Äpfel und Birnen addieren kann. In der "Physikermathematik" ist das aber üblich.

Du meinst die Matrix $\begin{eqnarray*} a_{ij}=\delta_{ij}+a_ia_j \end{eqnarray*}$ . Das ist etwas anderes. Wenn dies aber gemeint ist, dann wäre die obige Schreibweise nicht nur zweideutig, sondern falsch.

11.08.2011, 12:52

phlowe

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aber $\begin{eqnarray*} aa^{T} \end{eqnarray*}$ ist doch schon eine matrix, darauf wollte ich hinaus.

Was multiplizierst du denn da, s.d. du aus deinem Vektor einen skalar machst.?

11.08.2011, 14:02

Ehos

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@phlowe
Laut Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ ein Vektor aus $\begin{eqnarray*} R^n \end{eqnarray*}$ . Folglich ist $\begin{eqnarray*} \vec a \vec a^T \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt, also eine feste Zahl und keine Matrix. Es wäre nur in der Indexschreibweise $\begin{eqnarray*} a_ia_j \end{eqnarray*}$ eine Matrix.

11.08.2011, 14:10

phlowe

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Nein, eben nicht, $\begin{eqnarray*} a^{T}a \end{eqnarray*}$ wäre ein Skalarprodukt.
Das was wir hier haben ist ein sogenanntes Dyadisches Produkt: link

Dann macht auch sinn warum es n-1 verschiedene EV zum EW 1 gibt.

11.08.2011, 14:10

Reksilat

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@Ehos:
In der reinen Mathematik und insbesondere in LA-Grundvorlesungen ist die Indexschreibweise und auch die Schreibweise mit Pfeilen über dem Vektor absolut unüblich.

Normalerweise bezeichnet man dann mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ einen Spaltenvektor und dann ist nach den Gesetzen der Matrizenmultiplikation $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ eine Matrix.

Gruß,
Reksilat. Wink

12.08.2011, 10:19

Ehos

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@phlowe
Die Konfusion kam zustande, weil du das Tensorprodukt $\begin{eqnarray*} a \otimes a \end{eqnarray*}$ meintest. Deine Bezeichnung $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ gibt Anlass zur Verwechslungen mit dem üblichen Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} a \cdot a^T \end{eqnarray*}$ , wo man auch mit "Zeilenvektoren" $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und "Spaltenvektoren" $\begin{eqnarray*} a^T \end{eqnarray*}$ hantiert und den Punkt manchmal weglässt.

@Reksilat
Die Indexschreibweise ist aber auch in der reinen Mathematik üblich, insbesondere in der Geometrie (siehe z.B. das Buch "Differentialgeometrie" von Wolfgang Kühnel). Man hat bei der Indexschreibweise den Vorteil der Eindeutigkeit.

12.08.2011, 10:32

phlowe

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Zitat:

Original von Ehos
[...]"Zeilenvektoren" $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und "Spaltenvektoren" $\begin{eqnarray*} a^T \end{eqnarray*}$ hantiert [...]

Ich kenne es so, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ der Spaltenvektor und $\begin{eqnarray*} a^{T} \end{eqnarray*}$ der Zeilenvektor ist. Ich denke so würde es sinn machen, denn dann muss die Einheitsmatrix tatsächlich nicht hingeschrieben werden. Hier würde es helfen wenn der Threadstarter mal sagen würde wie er es gelernt hat bzw. was bei ihnen üblich ist.

12.08.2011, 11:03

Mazze

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Zitat:

Die Indexschreibweise ist aber auch in der reinen Mathematik üblich, insbesondere in der Geometrie (siehe z.B. das Buch "Differentialgeometrie" von Wolfgang Kühnel). Man hat bei der Indexschreibweise den Vorteil der Eindeutigkeit.

Im Prinzip ist eine eindeutige Syntax dazu da, damit die Leute einander verstehen. Sofern das hier gegeben ist sehe ich auch kein Problem. Da man aber als ordentlicher Mathematiker stets die Mengen dazuschreibt, aus denen man die jeweiligen Variablen wählt, ist für mich zumindest jede weitere Modifizierung der Bezeichner nur sinnvoll, wenn auch wirklich neue Information damit beschrieben wird.

Für $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ wäre für mich zum Beispiel $\begin{eqnarray*} aa^T \end{eqnarray*}$ eine Matrix und $\begin{eqnarray*} a_ia_j \end{eqnarray*}$ das Produkt der i-ten und j-ten Komponenten von a. So oder so, man muss sich ja nur auf eine Syntax einigen Augenzwinkern

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