Verallgemeinerung

11.08.2011, 09:36

mathinitus

Verallgemeinerung

Ich habe mal über das Beweisverfahren des ersten Beweises von Untergruppe mit Index p noch etwas ausführlicher nachgedacht.

Sei G eine endliche Gruppe und H eine beliebige Untergruppe mit Index k (k>1). H soll also echte Untergruppe von G sein.
Betrachten wir nun wieder den Homomorphismus
$\begin{eqnarray*} \varphi: G \to (G/H \to G/H) \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \varphi: x \mapsto (gH \mapsto (xg)H) \end{eqnarray*}$
dann ist $\begin{eqnarray*} \ker \varphi \end{eqnarray*}$ normale Untergruppe von G. Außerdem ist das Bild von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ isomorph zu einer Untergruppe U von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ .

Der Kern von $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ kann nicht ganz G sein, da k>1. Also wissen wir, dass die Existenz einer Untergruppe H mit Index k die Existenz einer normalen Untergruppe von G impliziert, so dass
$\begin{eqnarray*} G/N \cong U \le S_k \end{eqnarray*}$

Insbesondere bedeutet das also, dass im Falle, dass G einfach ist, N trivial ist. So ist also G isomorph zu einer Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ selbst ist aber nicht einfach.

Ist denn jede einfache Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ auch Untergruppe von $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ und war alles, was ich hier erzählte, richtig?

Korrektur: $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ ist nicht einfach für k>2.

11.08.2011, 15:17

mathinitus

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Was sagt ihr dazu?

11.08.2011, 15:25

jester.

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Wenn ich gerade nichts übersehen habe, ist alles, was du gesagt hast, richtig. Eine einfache Gruppe, die nichttrivial auf $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Punkten operiert, bettet sich in $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ ein. Das Bild dieser Einbettung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muss aber auch schon in $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ liegen, sonst gäbe es ja ein Element $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\rm sgn}(\varphi(g))=-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. der Homomorphismus $\begin{eqnarray*} {\rm sgn}\circ \varphi \end{eqnarray*}$ hätte einen nichttrivialen Kern, aber $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ war ja als einfach vorausgesetzt.

11.08.2011, 15:37

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
Wenn ich gerade nichts übersehen habe, ist alles, was du gesagt hast, richtig. Eine einfache Gruppe, die nichttrivial auf $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Punkten operiert, bettet sich in $\begin{eqnarray*} S_k \end{eqnarray*}$ ein. Das Bild dieser Einbettung $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ muss aber auch schon in $\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ liegen, sonst gäbe es ja ein Element $\begin{eqnarray*} g\in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} {\rm sgn}(\varphi(g))=-1 \end{eqnarray*}$ , d.h. der Homomorphismus $\begin{eqnarray*} {\rm sgn}\circ \varphi \end{eqnarray*}$ hätte einen nichttrivialen Kern, aber $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ war ja als einfach vorausgesetzt.

Schön, so zeigt man also, dass jede einfache Untergruppe von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ auch Untergruppe von $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ ist. Dass es so ist, hatte ich bereits vermutet, doch keinen Beweis.

Daraus folgt also, dass die Ordnung einer einfache Gruppe mit Untergruppe mit Index k>2 $\begin{eqnarray*} \frac{k!}{2} \end{eqnarray*}$ teilt.

So sieht man also zum Beispiel recht schnell, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung 36 geben kann, diese müsste nämlich nach den Sylowsätzen eine Untergruppe mit Index 4 haben und daraus folgt, dass 36 Teiler von 12 ist. Widerspruch.

11.08.2011, 15:44

jester.

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Zitat:

Original von mathinitus
So sieht man also zum Beispiel recht schnell, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung 36 geben kann, diese müsste nämlich nach den Sylowsätzen eine Untergruppe mit Index 4 haben und daraus folgt, dass 36 Teiler von 12 ist. Widerspruch.

So kann man argumentieren. Alternativ liefern 4 3-Sylowgruppen eine transitive Operation auf 4 Punkten, sodass es einen Homomorphismus von G in die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ gibt. Aber wegen 36>24 hat dieser einen Kern.
So kann man die Nebenklassen (noch?) vernachlässigen.

Mit dieser und ähnlichen Überlegungen kann man herausbekommen, dass es bis Ordnung 60 keine nichtabelschen einfachen Gruppen geben kann.

11.08.2011, 15:57

mathinitus

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Zitat:

Original von jester.
So kann man argumentieren. Alternativ liefern 4 3-Sylowgruppen eine transitive Operation auf 4 Punkten, sodass es einen Homomorphismus von G in die $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ gibt.

Ist das nicht die gleiche Begründung?

Zitat:

Original von jester.
So kann man die Nebenklassen (noch?) vernachlässigen.

Was für Nebenklassen?

Zitat:

Original von jester.
Mit dieser und ähnlichen Überlegungen kann man herausbekommen, dass es bis Ordnung 60 keine nichtabelschen einfachen Gruppen geben kann.

Also daraus entnehme ich einmal, dass $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ die erste ist. Gibt es sonst noch welche unter Ordnung 100?

PS: Du kannst ja als kleine Übungsaufgabe mal die Klassifizierung aller endlichen einfachen Gruppen überlegen. Wink

11.08.2011, 16:08

jester.

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Ich wollte nur darauf hinaus, dass du am Anfang ja auf Nebenklassen operiert hast, was man sich hier spart. Dass das wirklich einfacher ist, will ich gar nicht behaupten. Letztlich steckt wohl auch das selbe Argument dahinter.

Ja, $\begin{eqnarray*} A_5 \end{eqnarray*}$ ist die erste "interessante" einfache Gruppe. Die nächsten haben Ordnung 168 ( $\begin{eqnarray*} {\rm GL}(3,2) \end{eqnarray*}$ ), 360 ( $\begin{eqnarray*} A_6 \end{eqnarray*}$ ), 504 ( $\begin{eqnarray*} {\rm PSL}(2,8) \end{eqnarray*}$ ), 660 ( $\begin{eqnarray*} {\rm PSL}(2,11) \end{eqnarray*}$ ) und sind bis auf Isomorphie die einzigen nichtabelschen einfachen Gruppen von Ordnung kleiner als 1000.

Zitat:

PS: Du kannst ja als kleine Übungsaufgabe mal die Klassifizierung aller endlichen einfachen Gruppen überlegen. Wink

Scherzkeks. Augenzwinkern

11.08.2011, 20:19

mathinitus

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Gibt es auch zwei endliche einfache Gruppen gleicher Ordnung, die nicht isomorph sind?

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