Wie sieht eine Fundamentalmatrix aus?

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11.08.2011, 11:50	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie sieht eine Fundamentalmatrix aus? Hallo, wir haben eine Differentiallgleichungssystem gegeben mit: $\begin{eqnarray} <br /> \dot{u}=A(t)u, u(t_{0})=u_{0} \in \mathbb R^n<br /> \end{eqnarray}$ Eine Fundamentalmatrix ist definiert als: (i) Die Basis $\begin{eqnarray} \left[u_{j}\right]_{j=1}^{n} \end{eqnarray}$ heißt Fundamentalsystem (ii) Die Matrix $\begin{eqnarray} {(u_{j})}_{j} \end{eqnarray}$ heißt Fundamentalmatrix (iii) Wenn $\begin{eqnarray} {u_{j}}(0)=e_{j} \end{eqnarray}$ (Standardbasis) heißt die Basis Hauptfundamentalsystem (iv) Eine Fundamentalmatrix mit einem Hauptfundamentalsystem als Spalten heißt Hauptfundamentalmatrix Bei (i) sollen es geschweifte Klammern sein. K.a. wie ich die zusammen mit dem Index hier gemalt kriege... Man stelle sich, man hätte die Lösung eines DGL-Systems mit: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}=at<br /> x_{2}=a<br /> \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} <br /> x=\begin{pmatrix} at \\ t \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Wie sieht dann die Fundamental- und die Hauptfundamentalmatrix aus? Meine Ideen Die Basen sind offensichtlich $\begin{eqnarray} at \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ . Nur müsste doch die Matrix eine 2x2-Matrix sein, oder? Dann kann die Fundamentalmatrix ja schlecht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} at \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein??
11.08.2011, 13:31	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du eine zweidimensionale Funktion als Lösung hast, muss es auch eine zweite Lösung geben. Sollten x1 und x2 bereits deine beiden Lösungen sein, dann hast Du bei der Berechnung einen Fehler gemacht, denn ein System mit zwei Fundamentallösungen hat eine zweidimensionale Funktion als Lösung. Zum Beispiel könnte die Differentialgleichung x''=0 gelautet haben. Das lässt sich mittels $\begin{eqnarray} u=x' \end{eqnarray}$ in das System $\begin{eqnarray} x'=u \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u'=0 \end{eqnarray}$ überführen oder als Matrix geschrieben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} \dot{x} \\ \dot{u} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ u \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgrund des doppelten Eigenwertes 0 liest man die allgemeine Lösung ab: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x(t) \\ u(t) \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + C_2\cdot (t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} C_1+C_2\cdot t \\ C_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
11.08.2011, 15:55	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
das Differentialgleichungssystem lautet $\begin{eqnarray} <br /> \frac{d}{dt} \begin{pmatrix} x \\ \dot{x} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{2}{t^2} & \frac{2}{t} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ \dot{x} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Für die Homogene Lösung gilt offensichtlich x = at. Dies sieht man bei Einsetzen. Nur wie kriege ich jetzt daraus die Fundamentalmatrix? Dass ich das mit Eigenwerten lösen kann ist mir klar. Ich möchte aber gerne folgende Lösungsmethode verwenden: $\begin{eqnarray} <br /> x(t)=\Phi(t,t_{0})x_{0} + \int_{t_{0}}^t \! \Phi(t,s)b(s) \, ds<br /> \end{eqnarray*}$ b(s) ist dabei die Störfunktion, also die Inhomogenität. Phi ist die Fundamentalmatrix. Wie bestimme ich die?
11.08.2011, 16:18	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie oben schon geschrieben: Eine Lösung reicht nicht. Du benötigst eine zweite, zur ersten unabhängige Lösung. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}at \\a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist eine, aber nicht die homogene Lösung.
11.08.2011, 18:07	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, jetzt hab ichs. Das DGL-System lautet eigentlich $\begin{eqnarray} <br /> \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{2}{t^2} & \frac{2}{t} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} t^4 \\ t^3 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> x(2)=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Da ist mir nen Fehler unterlaufen, sorry. Als Lösung hab ich jetzt: $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}=\frac{7}{2}t + \frac{1}{4}t^5<br /> x_{2}=\frac{7}{2} + \frac{1}{4}t^4<br /> \end{eqnarray}$ Stimmt das? Hab ich mit der EINEN homogenen Lösung und Variation der Konstanten gemacht. Die Fundamentalmatrix hab ich nicht mehr gebraucht Trotzdem würde mich interessieren, was eigentlich $\begin{eqnarray} \Phi(t,t_{0}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi(t,s) \end{eqnarray}$ bedeuten. Also was hat das mit dem 2. Parameter auf sich und wie setzt man den in die Fundamentalmatrix ein?
11.08.2011, 19:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechne mal $\begin{eqnarray} x_1(2) \end{eqnarray}$ aus und schau, ob da wirklich 1 rauskommt. EDIT: Zur Fundamentalmatrix äußere ich mich später. Bin grad erst wieder nach Hause gekommen und hier sind ein paar Dinge liegengeblieben.
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11.08.2011, 20:15	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, hab das minus vergessen $\begin{eqnarray} <br /> x_{1}=-\frac{7}{2}t+\frac{1}{4}t^5<br /> x_{2}=-\frac{7}{2}+\frac{1}{4}t^4<br /> \end{eqnarray}$ Jetzt kommt es für x1(2) hin, aber für x2(2) noch nicht. Da würde es hinkommen, wenn es nur hieße (1/4)t^4 Aber dann kommt es beim Einsetzen in dem DGL-System nicht mehr hin...???
12.08.2011, 14:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie versprochen noch etwas zur Fundamentalmatrix: Du hast die erste Lösung $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bereits gefunden. Wenn Du den Grad des Polynoms erhöhst, kommst Du auf eine zweite Lösung (deren Grad wegen der zwei Bedingungen relativ schnell gefunden ist). Diese beiden Lösungen nebeneinander in eine Matrix geschrieben ergeben eine Fundamentalmatrix. Mit dieser kannst Du dann über die Formel y(t)= $\begin{eqnarray} Y(t)Y(a)^{-1}v+\int_a^t Y(t)Y(s)^{-1}b(s)ds \end{eqnarray}$ die Lösung des inhomogenen Systems berechnen. Dabei ist $\begin{eqnarray} Y(t) \end{eqnarray}$ die ermittelte Fundamentalmatrix, $\begin{eqnarray} b(t) \end{eqnarray}$ die Inhomogenität und $\begin{eqnarray} y(a)=v \end{eqnarray}$ das Anfangswertproblem (sofern gegeben). Ich vermute mal, bei Euch ist $\begin{eqnarray} a=t_0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Phi(t,t_0)=Y(t)Y(t_0)^{-1} \end{eqnarray}$
12.08.2011, 16:42	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst mit $\begin{eqnarray} Y(a)^-1 \end{eqnarray}$ die invertierte Matrix? Wo hast du deine Formel her? Link?
12.08.2011, 17:07	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist die Inverse Matrix. Und die Formel findest Du zum Beispiel hier (Satz 9.4 auf S.24-8) oder hier (Satz 6.17, PDF-Seite 6)
12.08.2011, 17:39	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, die zweite Lösung ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} t^2 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Hab es eingesetzt und mich irgendwo verrechnet. Aber das ist ja jetzt nicht so das Problem. Bei den vielen Matrixmultiplikationen passiert sowas sowieso ständig! Danke für die Formel, wenn die wenigstens so in unserem Skript gestanden hätte... Aber das tut sie irgendwie nicht Nirgendwo wird für mich ersichtlich, dass $\begin{eqnarray} \Phi(t,s)=\Phi(t){\Phi(s)}^-1 \end{eqnarray}$ ist Vielleicht findet es ja jemand hier: http://service.ifam.uni-hannover.de/~ehr...Skript_SS11.pdf In Kapitel 2.2.1 (S.44-47)
12.08.2011, 18:38	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei Euch ist $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ die Hauptfundamentalmatrix, d.h. $\begin{eqnarray} \Phi(t_o)=Id \end{eqnarray}$ (Lemma 2.6) Schau Dir mal Lemma 2.7 (ii) an. Da steht etwas versteckter, was Du suchst. $\begin{eqnarray} \Phi(t,s)\Phi(s,t_0)=\Phi(t,t_o) \end{eqnarray}$ Das ergibt nach $\begin{eqnarray} \Phi(t,s) \end{eqnarray}$ umgeformt, genau das, was Du suchst. Deine zweite Lösung ist übrigens nicht richtig. Die zweite Komponente muss 2t heissen.
12.08.2011, 22:23	stevewilson	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, diese dauernden Fehler. Klar, das ist die Ableitung der 1. Komponenten. Okay, das mit dem Lemma 2.7 (ii) stiimt natürlich. Wenn ich die Gleichung, die du da gepostet hast verwende, ist das dann eigentlich egal, ob ich die Fundamental oder die Hauptfundamentalmatrix einsetze? Wie kriege ich aus meiner Matrix $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ die zugehörige Hauptfundamentalmatrix?

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