Darstellung algebraischer Zahlen |
| 11.08.2011, 12:16 | Ernie0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Darstellung algebraischer Zahlen habe eine Frage zur Darstellung algebraischer Zahlen. Soweit ich das verstanden habe, sind algebraische Zahlen Nullstellen ganzrationaler Polynome und lassen sich nicht generell durch Wurzelterme darstellen. Wie könnte eine solche Zahl sonst eindeutig dargestellt werden? Man kann beweisen, dass eine Zahl algebraisch ist, indem man dasjeninge Polynom angibt, dessen Lösung diese Zahl ist. Allerdings wäre dies keine eindeutige Darstellung dieser Zahl, da das Polynom mehrere Nullstellen haben kann. Gibt es also eine andere Möglichkeit, wie algebraische Zahlen dargestellt werden können? |
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| 11.08.2011, 12:49 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ernie0, solange deine algebraische Zahl reell ist, kann man doch z.B. sagen "die Zahl ist die größte/zwetigrößte/... Nullstelle des Polynoms p" und hat sie damit eindeutig festgelegt. Auch wenn die eindeutig festzulegende Zahl komplex ist, kann man sie durch derartige "Zusätze" von anderen Nullstellen des entsprechenden Polynoms unterscheiden. Beispiel: i ist diejenige Nullstelle von p(z) = z²+1 mit positivem Imaginärteil. Eine ganz andere Geschichte ist es, wenn du eine algebraische Zahl nur über passende Polynome festlegen willst (also ohne dich auf weitere Eigenschaften der Zahl zu beziehen). Das geht nicht immer! Zum Beispiel gibt es kein Polanom mit rationalen Koeffizienten, das nur Wurzel(2), aber nicht -Wurzel(2) als Nullstelle hat. Wenn du also damit anfangen willst, ausgehend von den rationalen Zahlen die algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen zu definieren, so hast du immer Wahlmöglichkeiten. Zum Beispiel: Das Polynom p(x)=x²-2 hat exakt zwei verschiedene Nullstellen. Bezeichnet man eine davon als y, so ist die andere -y. Es gibt jedoch keine Möglichkeit zu unterscheiden, ob y=Wurzel(2) und -y=-Wurzel(2) ist oder umgekehrt. Man MUSS sich hier noch auf andere Eigenschaften beziehen, hier z.B. auf das Vorzeichen: Erst wenn ich sage: "Ich definiere y als die positive Nullstelle des Polynoms p(x)=x²-2", habe ich y=Wurzel(2) eindeutig festgelegt. Bei der Einführung der imaginären Einheit i tritt dasselbe Problem auf, wie oben schon erwähnt. Man "weiß" nur, dass p(z)=z²+1 exakt zwei verschiedene komplexe Nullstellen hat, kann aber nicht sagen, welche davon i und welche -i ist. Das i ist meines Wissens nur als Nullstelle dieses Polynoms definiert, womit diese Definition eigentlich nicht eindeutig ist. Das wirkt sich tatsächlich auch auf Sätze über Komplexe Zahlen aus: Jede richtige Komplexe Gleichung bleibt auch dann korrekt, wenn man i durch -i ersetzt! (Im Unterschied dazu kann man Wurzel(2) und -Wurzel(2) wenigstens noch über Anordnungseigenschaften auseinanderhalten, aber diese Möglichkeit existiert ja im Körper der Komplexen Zahlen nicht!) |
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| 11.08.2011, 13:29 | Ernie0 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| OK, danke Hi Dustin, danke schonmal... dass es nicht anders/einfacher geht, habe ich fast schon "befürchtet"... |
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| 11.08.2011, 19:05 | Dustin | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu wissen, dass etwas NICHT geht, kann die Sache auch einfach machen, finde ich 
Zum Thema Unterscheidung von i und -i ist mir noch was eingefallen: Man kann sich i und -i wie zwei völlig gleich aussende und aus gleichem Material bestehende Kisten vorstellen. Man weiß, die beiden Kisten sind nicht identisch, aber man kann nicht sagen, welche i ist und welche -i ist- Was man macht, ist: Man holt sich einen dicken Edding und schreibt i auf die eine und -i auf die andere Kiste. Dann kann man sie endlich auseinanderhalten, aber die Wahl war völlig willkürlich und beide Kisten haben nach wie vor exakt dieselben Eigenschaften. Beispiel Euler Gleichung: Ersetzt man i durch -i, ergibt sich die ebenfalls richtige Formel Das ist kein Zufall, sondern liegt eben genau an dieser prinzipiellen "Ununterscheidbarkeit" von i und -i. ALLE anderen komplexen Gleichungen haben dieselbe Eigenschaft, dass i mit -i vertauscht werden kann! (Aufgrund dieser Tatsache hat das Vertauschen von i mit -i ja sogar einen eigenen Namen: komplexe Konjugation.) |
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