Basisergänzung

11.08.2011, 13:48	Mathe20145	Auf diesen Beitrag antworten »
Basisergänzung Meine Frage: Hallo, ich lerne gerade für eine Klausur und bin jetzt bei dieser Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} U\subseteq \mathbb R \end{eqnarray}$ der von den Vektoren $\begin{eqnarray} v1= \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} , v2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} ,v3=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 9 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} ,v4= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , v5= \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ -8 \\ 2 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aufgespannte Unterraum. Bestimme eine Basis von U und ergänze diese zu einer Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{5} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Also um eine Basis von U zu sein, müssen die Vektoren ein minimales Erzeugendensystem sein, d.h. lin. unabhängig. Sie sind alle linear unabhängig bis auf v2 und v5 --> v5=(-2)v2. Also sind die Vektoren v1, v2, v3 und v4v4 oder die Vektoren v1,v3,v4 und v5 eine Basis von U. Laut dem Austauschsatz von Steinitz, kann ich also zu den beiden Basen jeweils einen Vektor aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb R^{5} \end{eqnarray}$ hinzufügen, sodass sie eine Basis vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^{5} \end{eqnarray*}$ werden. Jetzt meine Frage: wie mache ich das? Muss ich jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstellen um herauszufinden welche Zeile nicht eindeutig bestimmt ist?
11.08.2011, 14:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisergänzung $\begin{eqnarray} v_2+2v_2-v_3=0 \end{eqnarray}$ Die Menge $\begin{eqnarray} \{v_1,v_2,v_3,v_4\} \end{eqnarray}$ ist also nicht linear unabhängig. Für lineare Unabhängigkeit reicht es nicht, jeweils nur Paare von Vektoren zu betrachten, sondern man muss auch alle möglichen Linearkombinationen von mehreren Vektoren berücksichtigen. Setze dazu für eine Menge $\begin{eqnarray} \{v_1,...,v_k\} \end{eqnarray}$ ein LGS $\begin{eqnarray} a_1\cdot v_1+...+a_k\cdot v_k=0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i\in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ an und zeige, dass dann $\begin{eqnarray} a_1=...=a_k=0 \end{eqnarray}$ gelten muss. Gruß, Reksilat.
11.08.2011, 15:40	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basisergänzung Ein hilfreiches Hilfsmittel hier ist dir vllt die Erkenntnis, dass der Zeilenraum, also der durch die Zeilen einer Matrix aufgespannte Unterraum invariant bezüglich Gauß-Elimination ist. Was das praktisch heißt: Bringe die Matrix $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix} v_1^T \\ \vdots \\ v_4^T \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ auf Zeilenstufenform, nimm die von null verschiedenen Zeilen und du hast deine Basis!
11.08.2011, 15:47	Mathe20145	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke für die Hilfe! Habe auch im Skript nen Algorithmus gefunden um danach die neue Basis zu berechnen. Ich habe mir schließlich die Basis: {v2,v3,v4} gewählt und diese durch den Algorithmus so druch die Einheitsvektoren ergänzt, dass schließlich, nach einigem "reduziertem Zeilen-Stufen-Form-Berechnen" als Basis B={e4,e5,v2,v3,v4} entstanden ist.

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