Lokale Integrierbarkeit

11.08.2011, 16:43

allahahbarpingok

Lokale Integrierbarkeit

Moin moin,

ich wollte nur mal fragen, ob ich den Begriff endlich richtig verstanden habe.

Er besagt also, dass eine Funktion f genau dann lokal integrierbar, wenn sie auf jedem beliebigen Teilintervall integrierbar ist.

Angenommen ich habe folgende Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f: [-4, 10]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow |x| \end{eqnarray*}$

Das ist überall lokal integrierbar. Jedes Teilintervall von [-4, 10] ist integrierbar.

$\begin{eqnarray*} f: [-2, 2]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Nicht lokal integrierbar. In einem Teilintervall liegt garantiert auch die 0 und dort kann man nicht integrieren. (Zumindest nicht mit dem Regel-, Cauchyintegral)

$\begin{eqnarray*} f: ]0, 10]\rightarrow \mathbb{R}, x\rightarrow \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Das wiederum ist lokal Integrierbar auf ]0,2]. (Integration durch uneigentliches Integral)

Buschmann

11.08.2011, 16:50

Mazze

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Ich kenne die Definition, dass eine Funktion f lokal Integrierbar ist, wenn auf jedem Kompaktum $\begin{eqnarray*} K \subset \Omega \end{eqnarray*}$ (wobei Omega offen und Teilmenge des R^n ist) das Lebesgueintegral von |f| existiert. Meinst Du nicht doch eher diese Definition oder tatsächlich die eure ?

11.08.2011, 17:02

allahahbarpingok

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Ich zitiere aus dem Skript:

Sei $\begin{eqnarray*} I\subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ beliebiges Intervall: $\begin{eqnarray*} f: I\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt lokal integrierbar, falls die Einschränkung von f auf jedes Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b]\subseteq I \end{eqnarray*}$ integrierbar ist.

11.08.2011, 17:12

Mazze

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Ah, das ist schon etwas Anderes als Du oben erwähnst. Insbesondere ist es näher an der Definition die ich kenne.

Zitat:

Das ist überall lokal integrierbar. Jedes Teilintervall von [-4, 10] ist integrierbar.

Du integrierst nicht die Teilintervalle. Du integrierst die Funktion über die Teilintervalle. Ein Intervall kann nicht integrierbar sein, es sei denn Du definierst dir Integrierbarkeit für Intervalle irgendwie (was sicherlich nicht deine Aufgabe ist Augenzwinkern

).

Aber ja, deine erste Funktion ist lokal Integrierbar und die zweite ist auch richtig. Bei der dritten muss man schon mehr aufpassen, diese ist nicht, wie Du fälschlicherweise sagst , uneigentlich integrierbar, denn

$\begin{eqnarray*} \int_0^{10} \frac{1}{x}dx = 10 - \lim_{x \to 0}\ln(x) = 10 + \infty \end{eqnarray*}$

und damit ist das Ganze nicht uneigentlich integrierbar. Die Frage ist, ob diese Funktion für alle $\begin{eqnarray*} [a,b] \subset (0,10] \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \leq b \end{eqnarray*}$ integrierbar ist Augenzwinkern

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