Verständnisfrage: Semidirektes Produkt

11.08.2011, 17:14	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisfrage: Semidirektes Produkt Ich habe eine Frage zum semidirekten Produkt. Ich dachte, wenn man zwei beliebige Gruppen N und H hat und zusätzlich einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \gamma: H \to Aut(N) \end{eqnarray}$ , könnte man das semidirekte Produkt definieren und zwar wie folgt: $\begin{eqnarray} (n_1,h_1)(n_2,h_2) := (n_1\gamma_{h_1}(n_2),h_1h_2) \end{eqnarray}$ Dabei hängt das Semidirekte Produkt natürlich maßgeblich von $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ ab. So habe ich mir überlegt: Im Spezialfall $\begin{eqnarray} \|\gamma_H\|=1 \end{eqnarray}$ hätten wir gerade das direkte Produkt, das ist doch richtig, oder? Nun lese ich aber sehr häufig, dass einfach von dem semidirekten Produkt zwischen N und H die Rede ist, ohne einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} \gamma: H \to Aut(N) \end{eqnarray}$ anzusprechen. Doch was soll das dann? Woher soll man nun wissen, welcher gemeint ist? Zum Beispiel findet man das in der Wikipedia bei der letzten der drei nicht abelschen Gruppen der Ordnung 12 wieder. Wie ist das nun zu verstehen?
11.08.2011, 17:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verständnisfrage: Semidirektes Produkt Es ist schon ein konkretes gemeint. In so Tabellen steht das aber oft nicht konkreter drin, wahrscheinlich dann, wenn es eindeutig nachvollziehbar ist, durch die beiden Untergruppen in dem Produkt.
11.08.2011, 18:12	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Fall ist es eindeutig. $\begin{eqnarray} \|{\rm Aut}(C_4)\|=2 \end{eqnarray}$ und Homomorphismen von $\begin{eqnarray} C_3 \end{eqnarray}$ in diese Gruppe: da gibt es nur den trivialen, das ergibt also das direkte Produkt, ist also nicht gemeint. $\begin{eqnarray} \|{\rm Aut}(C_3)\|=2 \end{eqnarray}$ und Homomorphismen von $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ nach dort: es gibt einen nichttrivialen. Also ist genau dasjenige semidirekte Produkt gemeint, das durch diesen Homomorphismus gegeben ist.
11.08.2011, 18:23	mathinitus	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke euch beiden. Wenn wir uns aus der angefügten Datei einmal den ersten Punkt zur Gruppe mit 8 Elementen anschauen. Dort wird gefolgert, dass G das semidirekte Produkt ist aus C2 und C4. Doch mir ist nicht ganz klar, wieso man das folgern kann. Zu dem Zeitpunkt, zu dem das gefolgert wird, war noch gar nicht klar, dass es eine nicht abelsche Gruppe mit 8 Elementen gibt. Man hat nur gefolgert, dass unter der Annahme, dass es eine gibt, min. eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4 geben muss. Nun wird angenommen, dass es ein weiteres Element (also eins der 4 übrigen gibt), das Ordnung 2 hat und daraus soll nun folgen, dass G das semidirekte Produkt aus C2 und C4 ist?
11.08.2011, 18:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau setzt dein Einwand an? Voraussetzung für die Existenz von nicht abelschen Gruppen war die Existenz mind. eines Elementes der Ordnung 4. Dann gehen wir die Fälle durch. Frage ist eben, ob man die Untergruppen auch nicht trivial semidirekt "kombinieren" können. Dann folgt doch, dass es eine solche Gruppe gibt.

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