Residuensatz?

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Residuensatz?
Meine Frage:
Seien a,b positive reelle Zahlen, zeigen Sie:



Meine Ideen:
Meine spontane Idee ist es, den Residuensatz zu bemühen.
Ist das möglich bzw. eine gute Idee?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ist das möglich bzw. eine gute Idee?


Jup. Schau dir mal den Weg an. Dann ist



Edit: Eine elementare Möglichkeit wäre übrigens die Umformung



zu machen.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich komme auf:



Wenn ich das ausklammere, so erhalte ich:



Und nach nochmaligem Weiterrechnen schließlich:



Eventuelle Singularitäten sind jetzt die Nullstellen des Nenners.

Bis hierhin korrekt?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Bis auf ein fehlendes Minus im Zähler scheint es korrekt zu sein. (Die "elementare Möglichkeit" ist übrigens nicht nur elementarer sondern auch einfacher - aber den Umgang mit Residuen zu üben ist natürlich auch gut.)
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann also:




Nun komme ich ein bisschen in Verlegenheit, denn die Nullstellen des Nenners sind doch ein bisschen seltsam!

1.)

2.)

3.)

4.)


Wenn ich das korrekt verstehe, muss man also wohl zwei Fälle betrachten.

1. Fall:

Dann gibt es zwei Nullstellen.

2. Fall:

Auch dann hat man zwei Nullstellen.


Irgendwie weiß ich nicht, was ich jetzt machen muss.


PS. Wie rechnet man das Integral denn elementar aus?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Elementar geht's per Substitution




und nun



Edit: Also ich komme auf die vier komplexen Nullstellen (angenommen a ungleich b, sonst ist es ja eh einfach)



Damit sollten sich doch dann die Residuen berechnen lassen. verwirrt Sehe keine Fallunterscheidungen (ausser, a = b und a ungleich b)
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

moin, manchmal ist es nützlich die erste teilaufgabe anzuschauen Augenzwinkern

die aufgabe lautet:

Seien a und b positive reelle zahlen. wir definieren durch




zeige:

i)

ii)

es ist naheliegend sich für die zweite teilaufgabe das integral

anzuschauen.
du weißt schließlich nach (i) dass da rauskommt.
vielleicht kannst du dieses integral ja auf das gesuchte integral umformen?
versuch das mal. es ist nicht so schwer Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Aufgabe lautet so.

Aber bei i) wusste ich nicht, wie man das zeigen kann.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

residuensatz ^^
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@ gonnabphd: Wie kommst Du auf diese Nullstellen? Ich sehe das (peinlicherweise) gerade nicht.

@ Wetal: Ah, also alles wie immer für ein Kurvenintegral einsetzen und dann Residuensatz.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
@ Wetal: Ah, also alles wie immer für ein Kurvenintegral einsetzen und dann Residuensatz.


man sollte sich natürlich erstmal davon überzeugen, dass ein geschlossener weg ist, welcher den nullpunkt 1x umkreist. dann kannst du die homotopieinvarianz ausnutzen und einfach sagen, dass beide integrale bei (i) gleich sind (1/z hat ja auch nur eine singularität bei null).
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit man nicht zwei Mal rechnen muss.

Man rechnet das alles also für aus per Residuensatz und kann dann argumentieren, dass bei dem anderen Integral das Gleiche herauskommt.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
vielleicht kannst du dieses integral ja auf das gesuchte integral umformen?
versuch das mal. es ist nicht so schwer


Also, daß bei (i) herauskommt, habe ich.

Bei der Umformung könnte ich jetzt doch noch einen Tipp gebrauchen.


Edit: Irgendwas mit der 3. binomischen Formel?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man (i) mit dem Residuensatz ausrechnen??

Irgendwie scheine ichs doch nicht ganz kapiert zu haben.

Edit: Achso meine eigenen Ideen:

Ich nehme mal das Integral über den Weg .



Bis hierhin ist es einfach die Definition des komplexen Kurvenintegrals.

Und jetzt kann man das doch als Integral über den Rand des Einheitskreises auffassen bzw. umschreiben:







Muss ich jetzt von dem Nenner die Nullstellen berechnen, weil das die potentiellen Singularitäten sind und dann von diesen Singularitäten die Residuen berechnen?

Wenn ja:

Wie berechnet man die Nullstellen von ?

Sind die beiden Nullstellen ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Wie kann man (i) mit dem Residuensatz ausrechnen??

Was besagt denn der Residuensatz?
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

es gilt mit residuensatz



wobei S die menge der singularitäten ist. 1/z ha nur eine singularität bei z=0 und umrandet die 0 genau 1 mal. also ist



ferner gilt mit der parametrisierung:



als tipp hab ich ja bereits angedeutet, dass man nun das rechte integral umformen kann. z.b. durch erweiterung, so dass da das steht, was man sucht. versuche doch zunächst geschickt zu erweitern, so dass unterm bruchstrich im integral



steht. das würde dann zumindest im nenner dem gesuchten integral entsprechen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Residuensatz besagt, daß man das Integral einer komplexen Differentialform unter bestimmten Voraussetzungen berechnen kann, indem man die Residuen der vorhandenen Singularitäten mit den jeweiligen Windungszahlen multipliziert, dies dann addiert und mit multipliziert.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Gut!
Ich lasse mal Wetal weiter machen. Hatte nicht gesehen, dass er wieder online ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
es gilt mit residuensatz



wobei S die menge der singularitäten ist. 1/z ha nur eine singularität bei z=0 und umrandet die 0 genau 1 mal. also ist




Ach, so leicht?
Und ich habe dummerweise erst die Parametrisierung benutzt und dann versucht, den Residuensatz anzuwenden.

Zitat:
Original von Wetal

ferner gilt mit der parametrisierung:





Okay, das hatte ich auch.

Zitat:
Original von Wetal

als tipp hab ich ja bereits angedeutet, dass man nun das rechte integral umformen kann. z.b. durch erweiterung, so dass da das steht, was man sucht. versuche doch zunächst geschickt zu erweitern, so dass unterm bruchstrich im integral



steht. das würde dann zumindest im nenner dem gesuchten integral entsprechen.


Ich versuche mich nochmal daran, danke.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Und ich habe dummerweise erst die Parametrisierung benutzt und dann versucht, den Residuensatz anzuwenden.


das kann dann natürlich nicht gut gehen, weil man den residuensatz nur auf integration über eine geschlosene kurve anwenden kann und nach parametrisierung du integral von 0 nach 2pi hast, was keine geschlossene kurve mehr ist Augenzwinkern
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das war wieder eine Glanzleistung von mir. Hammer

Danke für den Hinweis.

Nun versuche ich mich doch nochmal an (ii) und poste meine Ideen dann.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
Zitat:
Original von Dennis2010
Und ich habe dummerweise erst die Parametrisierung benutzt und dann versucht, den Residuensatz anzuwenden.


das kann dann natürlich nicht gut gehen, weil man den residuensatz nur auf integration über eine geschlosene kurve anwenden kann und nach parametrisierung du integral von 0 nach 2pi hast, was keine geschlossene kurve mehr ist Augenzwinkern


Das verstehe ich nicht.

Das wäre doch immer noch eine Integration über einen geschlossenen Weg.
Es handelt sich ja immer noch um den Weg , nur parametrisiert.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

nach dem parametrisieren, hast du integral über einen kostanten weg
, also

in worten: du integrierst über einen geraden weg von 0 bis 2 pi auf der reellen achse.

\edit: kein problem ^^
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, klar.

Hier integriert man dann ja nach t.. und nicht mehr nach z, sozusagen also nicht mehr über Punkte, die auf dem "Kreis" liegen, sondern über t-Werte und die t-Werte liegen eben auf einem nicht-geschlossenen Weg.

Danke. Ich mache jetzt Schluss für heute. Ich schreibe ja nur noch Blödsinn.

Danke Dir.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal etwas zu dem Residuensatz bei (i):

Man könnte doch aber theoretisch auch erst die Parametrisierung ausrechnen und dann das Integral zum Integral über den Einheitskreis "umformen". Das wäre doch möglich, da man ja die trigonometrischen Funktionen gerade so umschreiben kann.

Ich meine:

, wobei der Rand des Einheitskreises sein soll.

Dann wäre der Residuensatz anwendbar, wenn ich mich nicht irre. Das heißt, man würde ein wenig umformen und dann mögliche Nullstellen als Singularitäten berechnen. Deren Residuen würden dann das Integral angeben.

Ich frage das nur nochmal so aus reinem Interesse, natürlich würde sich das hier nicht anbieten, weil das im Vergleich zu der obigen kurzen Lösung natürlich unverhältnismäßig umständlich wäre. Das war halt nur mein Ansatz gewesen und wenn ich so darüber nachdenke, war er vllt. doch okay, wenn auch umständlich.

Sehe ich das richtig?


Nun aber zu (ii) und der Umformung:

Zitat:
Original von Wetal
als tipp hab ich ja bereits angedeutet, dass man nun das rechte integral umformen kann. z.b. durch erweiterung, so dass da das steht, was man sucht. versuche doch zunächst geschickt zu erweitern, so dass unterm bruchstrich im integral



steht. das würde dann zumindest im nenner dem gesuchten integral entsprechen.


Das Einzige, das mir dazu einfällt, ist es, Zähler und Nenner mit zu multiplizieren, denn für den Nenner gälte dann , also hätte man den gewünschten Ausdruck.

Im Zähler würde dann folgender Ausdruck stehen:

, das heißt man wäre bei



angekommen.

Noch erschließt sich mir nicht, wie es an dieser Stelle weitergehen könnte. Vorausgesetzt, daß dies überhaupt eine gute Idee ist. Ich wäre also einem weiteren Hinweis nicht abgeneigt.

Wink
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Nochmal etwas zu dem Residuensatz bei (i):

Man könnte doch aber theoretisch auch erst die Parametrisierung ausrechnen und dann das Integral zum Integral über den Einheitskreis "umformen". Das wäre doch möglich, da man ja die trigonometrischen Funktionen gerade so umschreiben kann.

Ich meine:

, wobei der Rand des Einheitskreises sein soll.

Dann wäre der Residuensatz anwendbar, wenn ich mich nicht irre. Das heißt, man würde ein wenig umformen und dann mögliche Nullstellen als Singularitäten berechnen. Deren Residuen würden dann das Integral angeben.

Ich frage das nur nochmal so aus reinem Interesse, natürlich würde sich das hier nicht anbieten, weil das im Vergleich zu der obigen kurzen Lösung natürlich unverhältnismäßig umständlich wäre. Das war halt nur mein Ansatz gewesen und wenn ich so darüber nachdenke, war er vllt. doch okay, wenn auch umständlich.

Sehe ich das richtig?


ja, dieser ansatz führt zur gleichen lösung. habs auch gestern nachgerechnet ^^
allgemein kann man diese art von aufgaben damit lösen (vergleiche übungsblatt 11, aufgabe 2):
Sei für alle erklärt, dann gilt mit



Zitat:
Original von Dennis2010
Nun aber zu (ii) und der Umformung:

Das Einzige, das mir dazu einfällt, ist es, Zähler und Nenner mit zu multiplizieren, denn für den Nenner gälte dann , also hätte man den gewünschten Ausdruck.

Im Zähler würde dann folgender Ausdruck stehen:

, das heißt man wäre bei



angekommen.

Noch erschließt sich mir nicht, wie es an dieser Stelle weitergehen könnte. Vorausgesetzt, daß dies überhaupt eine gute Idee ist. Ich wäre also einem weiteren Hinweis nicht abgeneigt.

Wink


mach daraus 2 integrale. eins mit komplexen anteil des zähler, eins mit rellem anteil. kannst du nun das gesuchte integral irgendwo erkennen? (tipp: ziehe konstante aus dem nenner des integrals raus). kannst du nun vielleicht eines der beiden integrale ausrechnen? wenn du nicht auf die idee kommst, kann ich noch n tipp geben.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wetal
ja, dieser ansatz führt zur gleichen lösung. habs auch gestern nachgerechnet ^^
allgemein kann man diese art von aufgaben damit lösen (vergleiche übungsblatt 11, aufgabe 2):
Sei für alle erklärt, dann gilt mit




Was hast Du als Singularitäten heraus und was für die Residuen?

Ich habe (s. Seite 1) als Singularitäten .
Das müssten einfache Pole sein.

Doch irgendwie bekomme ich es jetzt nicht hin, dazu die Residuen zu berechnen.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

da hab ich als sinnvolle singularitäten, die der bedingung genügen und somit aus dem inneren des einheitskreises kommen:




man müsste da natürlich einige fälle untersuchen, aber das passt schon so wie es da steht, denn entweder sind diese nullstellen komplex, wegen negativer wurzel, oder reell. auf jeden fall keine mischung aus beiden. dann überprüft man einfach den betrag dieser nullstellen, welcher kleienr 1 sein sollte.

mit der formel krieg ich dann mit hilfe von wolframalpha (per hand wird es ziemlich unübersichtlich)

Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, du bist schon einen Schritt weiter als ich.

Das war gerade die Berechnung von (ii) mittels der "Methode" mit dem Einheitskreis.

[Gut, das wollte ich sowieso auch noch machen.]

Ich meinte aber eben noch (i) und wollte das da mal mit Hilfe des Einheitskreises berechnen.

Und da habe ich meine Singularitäten .
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

der ansatz vom übungsblatt 11 führt auf die berechnung der singularitäten von der funktion



und da erhalte ich die singularitäten, welche ich vorhin gepostet habe. du müsstest die gleiche rauskriegen.
schließlich leitet man die formel aus dem 11. übungsblatt mit dem selben weg von seite 1 her.

deine singularitäten können nicht richtig sein, weil die singularitäte nicht auf dem integrationsweg (in deinem fall gamma = 1-dim einheitssphäre) liegen dürfen. dann wäre nämlich gamma nicht zulässig. außerdem interessiert man sich nur für singularitäten aus dem inneren des einheitskreises. (d.h. |a| < 1, was für nicht erfüllt ist)

\edit:

Zitat:
Original von Dennis2010
Ich meinte aber eben noch (i) und wollte das da mal mit Hilfe des Einheitskreises berechnen.

Und da habe ich meine Singularitäten .


meinst du mit (i), dass du nachweisen willst? da ist die singularität bei 0
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
Wie kann man (i) mit dem Residuensatz ausrechnen??

Irgendwie scheine ichs doch nicht ganz kapiert zu haben.

Edit: Achso meine eigenen Ideen:

Ich nehme mal das Integral über den Weg .



Bis hierhin ist es einfach die Definition des komplexen Kurvenintegrals.

Und jetzt kann man das doch als Integral über den Rand des Einheitskreises auffassen bzw. umschreiben:







Muss ich jetzt von dem Nenner die Nullstellen berechnen, weil das die potentiellen Singularitäten sind und dann von diesen Singularitäten die Residuen berechnen?

Wenn ja:

Wie berechnet man die Nullstellen von ?

Sind die beiden Nullstellen ?


Diesen Beitrag meinte ich.

Also bei (i) erst die Parametrisierung eingesetzt und dann als Integration über den Rand des Einheitskreises umgeformt.

Und hierfür nun Singularitäten und Residuen berechnen.

Du meinst glaube ich die ganze Zeit (ii).

Vielleicht reden wir gerade aneinander vorbei. Big Laugh

Edit: Oder ich bin zu blöd, um zu verstehen, was Du meinst. Das will ich auch nicht ausschließen.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

oh gott, nein sowas würde doch keiner versuchen zu rechnen, wenn man virekt am anfang schon den residuensatz anwenden kann ^^

wenn ich allerdings die nullstellen des nenner im letzten integral von dir ausrechne, kriege ich



du hast wohl n vorzeichen verdreht. diese lösung kommt von wolframalpha.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist natürlich extrem umständlich und nicht gerade zu empfehlen, das stimmt.

Aber um das Prinzip zu verstehen (und Residuen auszurechnen), dachte ich mir, daß man das ja vielleicht mal rechnen könnte.

Oh, dann habe ich mich verrechnet.

Im Grunde geht es mir auch nur darum, mal die Residuen auszurechnen, denn ich weiß gar nicht so genau, wie das geht.

Und hier habe ich ein gutes Beispiel, bei dem ich hinterher nachvollziehen kann, ob ich die Residuen richtig berechnet habe, denn da herauskommt, müssen die Residuen in ihrer Summe ja wohl 1 ergeben.

Tun sie das hier?

Ich versuche mal, es auszurechnen.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

wenn es dir darum geht residuen auszurechnen, würde ich zunächst auf die rechenregeln verweisen.
die würde ich aber auch nicht an dieser funktion, sondern an anderen versuchen. z.b. wie in Ü12 A1
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke.

Ich lasse diese Aufgabe nun hier mal sein. Ich verzettel mich da ein bisschen.

Die Rechenregeln für Residuen werde ich mir ansehen.



Allerbesten Dank!
Du hast mir mit diesem Thread sehr weitergeholfen.
Wetal Auf diesen Beitrag antworten »

ok, wenn du es sein lässt, schreibe ich vollständigkeitshalber noch die lösung hin, falls die sonst noch jemanden interessiert:



daraus folgt die behauptung.



** bisschen angepasst - g'phd **
Hinweis: Um die Zeilen nach links auszurichten (so wie oben):

Bsp.
code:
1:
2:
3:
f(x) &=& 3x^2 + 7 \\
g(x) &=& (\cos(x) + \sin(x))^2 = \cos^2(x) + 2\cos(x)\sin(x) + \sin^2(x) \\
&=& 1 + 2\cos(x)\sin(x)


Wird zu



Grüsse Wink
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine schöne Rechnung.

Ich bezweifle, ob ich darauf gekommen wäre, aber es ist natürlich alles sehr logisch und eigentlich auch ganz nachvollziehbar.

Freude
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

@Wetal: Schön, schön. Freude (Wie man da ohne Teilaufgabe 1 hätte draufkommen sollen, weiss ich nicht Augenzwinkern )

Zum Vergleich noch die von mir erwähnte elementare Methode aus Analysis I/II:



Substituiere , dann ist

Also



Edit: Wobei angenommen wurde, dass a, b > 0... Die anderen Fälle muss man wohl noch getrennt betrachten
Edit2: Naja, doch nicht wirklich, denn die Formel stimmt eh nur für a und b beide > 0 oder < 0.

Grüsse
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte Teilaufgabe (i) nicht unerwähnt lassen sollen.

Naja, so habe ich zwei Lösungswege kennenlernen können.

Danke auch an Dich, gonnabphd!
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