Binomialkoeffizient [Beweis]

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-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient [Beweis]
Meine Frage:
Man beweise für alle reellen Zahlen x,y und alle natürlichen Zahlen n



Danke

Meine Ideen:
Bin in keinem Mathestudium eingeschrieben und würde gerne wissen wie man das richtig löst ich hätte ganz normal mit Induktionsvorraussetzung angefangen und dann im Schritt die IV eingebracht um das ganze für n+1 zu beweisen. Wäre nett wenn mir jemand behilflich wäre - Danke
Dustin Auf diesen Beitrag antworten »

Hi miami-beach,

also am Besten helfen kann man immer noch, wenn du schon mal konkret versuchst anzufangen zu rechnen. Deine Idee mit Induktion ist schonmal gut!

VG Dustin
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

Induktionsanfang:
Sei n=1

phlowe Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann hast du doch deinen IA schon fertig. Fang doch mal den IS an.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso bin ich fertig ? ich weiß zwar das es stimmt aber links und rechts steht nicht das gleiche ..... ich weiß nicht mehr wie ich die Binomialkoeffizienten vereinfachen könnte. Wenn ich einsetze kommen wahre Aussagen raus
phlowe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Induktionsanfang: Sei n=1
 
 
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

ach du meine Güte .... danke danke danke Augenzwinkern
manchmal sieht man vor lauter Wald die Bäume nicht lach
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von -miami-beach
Man beweise für alle reellen Zahlen x,y

Schon in deinen Ausführungen zum Induktionsanfang sieht man, dass du dir offenbar noch nicht ganz im klaren bist, wie der Binomialkoeffizient für reelle (und damit auch nichtganzzahlige) definiert ist: Das geht nämlich nicht mehr über , denn die beiden Fakultäten und sind ja in diesem allgemeineren Fall gar nicht mehr definiert!!!

Benutzt wird hier die Definition

,

also . Im Sonderfall wird da (wie gehabt) gesetzt.


P.S.: Ich würde überhaupt auch den Induktionsanfang eher bei n=0 statt bei n=1 sehen.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

okay vielen Dank du hast mir echt weitergeholfen man muss das wohl so setzen weil x und y reelle Zahlen sind. Leuchtet ein! Dennoch vertehe ich nicht warum n = 0 es in der Angabe steht n ist ein Element der natürlichen Zahlen. Ich bin gerade dabei den Induktionsschritt auszuarbeiten und hab damit so leichte Probleme werde aber gleich meinen Vorschlag posten. Bin kein Mathe oder Physikstudent deshalb geht das bei mir etwas phlegmatischer sorry Augenzwinkern
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will gar nicht diskutieren, ob Null zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Fakt ist
  • dass die Aussage auch für n=0 gilt,
  • der Gesamtbeweis damit noch umfassender wird (also n>0 statt nur n>1), und nicht zuletzt
  • der Induktionsanfang n=0 viel einfacher nachzuweisen ist als der für n=1. Augenzwinkern
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

Da sind wir einer Meinung ... und das Thema ist ein Streitpunkt ... nach DIN Norm ist die Null Element der natürlichen Zahlen .... aber nach dem Maßstab vieler Mathematiker nicht. Peano sagt 0 ist keine natürliche Zahl. Falls ich die Definiton der natürlichen Zahlen über die leere Menge nach Neumann verwende ist sicherlich die Null Element der natürlichen Zahlen. Ich persönlich empfinde die Definition von Neumann als eleganter weil sie nicht einfach willkürlich sagt ab 1 beginnen die natürlichen Zahlen. Wenn ich irgendwo falsch liege korrigier mich ruhig ... will ja was dazulernen.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

induktionsschritt:
1,..,n --> n+1




ich habe nun keine Ahnung wie ich die Induktionsvorraussetzung einbauen kann ich muss die Summe entsprechend umformen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Was die Details betrifft, verweise ich mal auf

Beweis : Additionstheorem der Binomialkoeffizienten
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

danke für den Link hab mir das nun angesehen .... werd aber nicht schlau draus. Also stimmen die Schritte oben noch oder wie ginge es nun weiter.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von -miami-beach
werd aber nicht schlau draus.

Dann musst du dich eben etwas intensiver drum bemühen.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »
-miami-beach
Nun gut ich versteh den Trick erst beidseitig zu multiplizieren aber dann



Bis hierher alles verstanden aber ich weiß nicht was mir bringt .... hab bei Beweisen nicht die nötige Erfahrung denk ich mal um vll hier das Banale zu sehen.

Jedenfalls Danke für die Hilfe
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Na jetzt greift die Induktionsvoraussetzung, die ja der Behauptung für n entspricht - die kannst du in Form von sowie anwenden.

EDIT: Allerdings stimmt deine letzte Formelzeile nicht in Gänze - die Summationsbereiche sind sorgfältig zu überdenken!
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid das ich dich so nerve Augenzwinkern aber ich verstehe wirklich nicht wie ich da die Induktionsvorraussetzung einbinden kann sie ist doch nicht für a-1 oder b-1 gegeben??
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt drauf an, wie man die zu beweisende Induktionsaussage wählt. Nimmt man da

Zitat:
: Für alle reellen Zahlen gilt .

dann haut der Beweis hin.


Formuliert man es hingegen nur für feste , dann wäre dein Einwand berechtigt.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

okay sehe ich ein .... was ist dann noch an den Summationsindexen falsch - Danke

EDIT: Darf evtl in der Ersten Summe nur bis n summiert werden, da sonst eine reelle Zahl über einer negativen stehen würde ? ich dachte das gibt einfach null und ich kann das so noch stehen lassen - oder ist das nicht zugelassen da es keine negativ elementigen Teilmengen gibt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Na nehmen wir z.B. mal die Umformumg



in der ersten Teilsumme: Für ist die Ok, aber für bedeutet das

,

wobei rechts da völliger Unsinn steht. Klar ist, dass die linke Seite gleich Null ist, und daher dieser Summand weggelassen werden kann, und zwar VOR (!) Anwendung der Vereinfachung (*).


Ganz genauso verhält sich bei




Für in Ordnung, für dagegen wieder Unsinn.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »
RE: -miami-beach


So dann stimmt nun dies leuchtet alles ein. Vielen Dank für den Hinweis ich wusste nicht das solche Änderungen vor der Vereinfachung vorgenommen werden. Dachte man setzt dann im nächsten Schritt entsprechende Glieder einfach null. So nun weiter mit der Induktionsvorraussetzung ....




Dankeschön .... noch eine Frage ginge das auch auf einem anderen Weg, der nicht beide Seiten mit (n+1) multipliziert ?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann das natürlich stattdessen auch als künstlichen Faktor vor der Summe mitschleppen ... aber deine Frage geht wohl eher in die Richtung nach einem prinzipiell anderen Weg? Mir fällt zumindest jetzt keiner ein, was nicht heißt, dass es den nicht gibt.
-miami-beach Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau es geht um einen prinzipiell anderen Weg. Hast du Mathe studiert oder noch im Studium ? - Du kennst dich echt gut aus ... Danke nochmal für deine ganze Mühe ... immerhin konnte ich mir somit halbwegs den Weg selbst erarbeiten ohne einfach die Lösung vor die Augen geknallt zu bekommen ...
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ein anderer und auch sehr schöner Beweis geht kombinatorisch.
Offensichtlich(wer es nicht glaubt gibt diese halt explizit an) gibt es eine Bijektion zwischen der Auswahl von n Elementen aus {1,....,x+y} und der Auswahl von k Elementen aus {1,...x} und n-k aus {1,..,y} für 0<=k<=n.

Dies zeigt die Behauptung für natürliche x und y. Auf reelle Zahlen erweitern kann man es dann, da die beiden Terme Polynome sind. Sind diese auf unendlich vielen Stellen gleich(es reichen bereits n+1 gleiche Stellen) so müssen auch die Polynome gleich sein. Damit gilt es für alle reellen(und sogar komplexen) Zahlen.
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