Eigenwerte mit Laplace'scher Entwicklungssatz

12.08.2011, 04:11	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte mit Laplace'scher Entwicklungssatz Meine Frage: Gegeben ist Folgende Matrix $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Zu dieser sollen die Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmt werden. (Mir geht es aber gerad nur um den Schritt bis zum Eigenwert mit Laplace) Als Ergebnis ist fuer die Eigenwerte 1 2, und 3 gegeben bzw Folgendegleichung (1+x)(2-x)(3-x) Ausmultipliziert zur einfacheren Kontrolle vom Zwischenergebnis: -x^3 +6x^2 -11x +6 Meine Ideen: Bei der Anwendung der Sarrus-Regel komme ich auch auf das Ergebnis: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4-x & 0 & -2 \\ 1 & 3-x & -2 \\ 1 & 2 & -1-x \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Ergibt nach Sarrus (4-x)(3-x)(-1-x)-4+2(3-x)+4(4-x) und das ist auch gleich -x^3 -11x +6x^2 +6 Bei der Anwendung von Laplace komme ich aber nicht auf das Ergebniss (Der Grund warum ich es damit machen moechte ist, das es bei einer ähnlichen aber schwierigeren Aufgabe sinvoll waere Laplace zu benutzen) Laplace (3-x)dat $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4-x & -2 \\ 1 & -1-x \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ -2dat $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 4-x & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Darausfolg (3-x) ((4-x)(-1 -x) +2) - 2 (8-2x+2) Wenn ich das jetzt aber ausmultipliziere komme ich nicht auf -x^3 +6x^2 -11x +6 Wo ist mein Fehler?
12.08.2011, 04:26	polynom2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, das ist soweit Richtig, du hast einfach nur ein Vorzeichenfehler in der Zweiten Matrix. Grüße
12.08.2011, 05:20	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Vorzeichenfehler hab ich sogar auch noch hier beim eingeben eingebaut. Hier aufm Papier hab ich ihn nicht aber das kannst du ja schlecht sehen Danke aber schon mal fuer den Hinweis, hier auch gleich die Korrektur plus den Rest der Rechnung Korrektur 2. matrix -2det $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4-x & -2 \\ 1 & -2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hier mal die Rechnung nach Korrektur (3-x) ((4-x)(-1 -x) -(-21)) -2((4-x)(-2) - (-21)) (3-x) ((4-x)(-1-x) +2) -2(-8+2x +2) (3-x) (x^2 - 3x - 2) + 16 -4x -4 3x^2 -9x -6 -x^3 -3x^2 -2x +12 -4x bekomme ich raus:- x^3 - 15·x + 6 Es muss aber -x^3 +6x^2 -11x +6 sein.
12.08.2011, 10:34	polynom2007	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast einen Vorzeichenfehler beim ausmultipizieren der Klammern gemacht (3-x) (x^2 - 3x - 2) du hast bei der ersten Klammer das Minuszeichen flasch mit ausmultiplizert.
12.08.2011, 15:37	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, immer diese Vorzeichen, muss da echt aufpassen. Vielen Dank fuer die Hilfe (3-x) (x^2 - 3x - 2) + 16 -4x -4 3x^2-9x-6-x^3+3x^2+2x + 16 -4x -4
12.08.2011, 18:11	Pascal90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab noch mal ne Frage zu einer anderen Aufgabe, passt aber noch ins gleiche Themengebiet Es geht darum den Eigenvektor zu bestimmen und zwar aus folgender Matrix. (Die Matrix ist bereits entsprechend der Diagonalen mit dem Eigenwert erweitert worden) Bis dahin stimmt es auch den die obere Matrix ist als zwischen Ergebnis gegeben $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} <br /> 4 & -1 & -2 & 2 & -5 \\<br /> 1 & 2 & -1 & 1 & -4 \\ <br /> 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} <br /> 4 & -1 & -2 & 2 & -5 \\<br /> -4 & -8 & 4 & -4 & 16 \\ <br /> 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> <br /> \begin{pmatrix} <br /> 4 & -1 & -2 & 2 & -5 \\<br /> 0 & -9 & 2 & -2 & 11 \\ <br /> 0 & 0 & 2 & -2 & 2 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} <br /> 4 & -1 & 0 & 0 & -3 \\<br /> 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ <br /> 0 & 0 & 1 & -1 & 1 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ <br /> 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Als Variablen hab ich einfach von vorne nach hinten das Alphabet genommen b=e c=d-e NR: ------------------- 4a-b-3e=0 4a -4b=0 a=b ----------------- a=b=e Als Ergebniss soll laut Loesung rauskommen. Aber wie komme ich von den Gleichungen oben auf das Ergebnis? $\begin{eqnarray} <br /> t\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$
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