Bestimmung Grenzwert einer Folge mit Hilfe der Taylorreihe cos(x)

12.08.2011, 09:37

Pat89

Bestimmung Grenzwert einer Folge mit Hilfe der Taylorreihe cos(x)

Meine Frage:
Hallo,
ich lerne grad für meine kommende Klausur Höhere Mathematik 2.
(Ich hoffe ich poste das Problem im richtigen Abschnitt da ich nicht genau in welches Themengebiet Taylorreihen fallen.)
Jetzt sitze ich grade vor dieser Aufgabe:
Bestimmen sie den Grenzwert der Folge

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\cos(x) -1 )/x² \end{eqnarray*}$ mit Hilfe der Taylorreihe

von cos(x)

Meine Ideen:
Ersteinmal habe ich mir die Taylorreihe von cos(x) herausgesucht.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n * (x^(2n))/(2n)! \end{eqnarray*}$

Jetzt bin ich mir nicht mehr sicher was ich genau tun muss, da ich oben einen Grenzwert und unten eine Reihe betrachte. Ob ich diese nun Gleichsetzen muss oder ähnliches. Gegoogelt habe ich das Problem auch, allerdings mit mäßigem Erfolg.
Wäre super wenn ihr mir Tipps geben könntet, wie ich zum Ergebnis komme!

12.08.2011, 09:46

René Gruber

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Aus der Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ kannst du die Potenzreihe von $\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ bestimmen, durch die entsprechende einfache Umformung des entsprechenden Reihenterms. Und der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} P(x) \end{eqnarray*}$ einer Potenzreihe $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n \end{eqnarray*}$ ist schlicht deren Konstantglied, also $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} P(x) = a_0 \end{eqnarray*}$ .

12.08.2011, 10:14

Pat89

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so ganz habe ich deine Antwort ehrlich gesagt nicht verstanden.

Wie kann ich eine Taylorreihe so umformen dass ich auf $\begin{eqnarray*} \ (cos(x)-1) /x² \end{eqnarray*}$ komme? Ich weiß nicht was ich mit n machen soll.

Du sagst dass es eine einfache Umformung ist also kann es ja eigentlich nicht so schwer sein.

bzw wie kann ich überhaupt den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ bestimmen , da $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ doch zwischen 0 und 1 divergiert?

12.08.2011, 10:46

René Gruber

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Die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ , die da subtrahiert wird, entspricht dem Glied $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ der Kosinus-Taylorreihe. Also ist schon mal

$\begin{eqnarray*} \cos(x)-1 = \left( \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \right) - 1 = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\cos(x)-1}{x^2} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{x^2\cdot (2n)!} = \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n-2}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$ .

Und wenn ich jetzt noch den letzten Schritt - die fällige Indexverschiebung in der letzten Summe - hinschreiben würde, dann wäre alles schon komplett gelöst. Zumindest das kannst du ja wenigstens noch tun!

12.08.2011, 11:16

Pat89

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ich weiß nicht, ob das falsch rübergekommen ist. Ich will das Thema verstehen, da ich es selber anwenden können muss und nicht dass du mir die Aufgabe vorrechnest! Ich bin nicht zu faul dafür oder habe keine Lust...

Der Ansatz ist also dass ich die gegebene Folge mit der Kosinus-Taylorreihe gleichsetze und umforme, richtig?

Erst einmal guckst du dir den einfacheren Fall an und schließt von diesem dann auf den komplizierteren.

wäre dann die Lösung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} * \frac{x^{2n-1}}{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank auf jedenfall schonmal für die Geduld und Mühe Freude

13.08.2011, 13:47

Dustin

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Hallo Pat89!

Nein, das stimmt noch nicht. Du hast die Klammern vergessen zu setzen. Wenn du n durch n+1 in der Summe ersetzt (was auch genau richtig ist!), wird

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \cdot \frac{x^{2n-2}}{(2n)!} \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2(n+1)-2}}{(2(n+1))!} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ausmultiplizieren, vereinfachen und den Limes für x--> 0 berechnen! smile

15.08.2011, 10:13

Pat89

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Hey Dustin!

Danke für die Korrektur Freude

, habe leider jetzt erst gesehn dass du geschrieben hast.

Habe jetzt alles ausmultipliziert und gucke mir nun den Grenzwert an.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^{n+1} * \frac{x^{2n} }{(2n+2)!} \end{eqnarray*}$

weiß ehrlich gesagt nicht, ob ich noch weiter vereinfachen kann...
Habe jetzt leider wieder ein paar Fragen. Wenn ich nur den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ betrachte, dann divergiert es ja zwischen -1 und 1.

hier habe ich ja einen ähnlichen Fall.

Irgendwie hinke ich noch mit dem kompletten Verständnis hinterher..
wenn ich jetzt Leihenhaft einfach mal x = 0 setze um zu gucken was passiert.. wird der komplette Wert auch 0 oder? da doch 0 hoch irgendwas immer noch 0 bleibt.
das würde allerdings dem wiedersprechen das $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ normalerweiße divergiert

15.08.2011, 10:44

schultz

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wer hat dir denn erzählt, dass cos(x) für x=0 divergiert?! geschockt

Schreib dir doch mal die ersten glieder deiner reihe jetzt explizit hin, vieleicht siehst du es ja dann besser...

15.08.2011, 10:48

klarsoweit

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Zitat:

Original von Pat89
Habe jetzt leider wieder ein paar Fragen. Wenn ich nur den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \cos(x) \end{eqnarray*}$ betrachte, dann divergiert es ja zwischen -1 und 1.

Deine Ausdrucksweise ist sehr ungenau. Wenn du von Grenzwerten redest, mußt du auch sagen, wohin das x gehen soll.

Zitat:

Original von Pat89
wenn ich jetzt Leihenhaft einfach mal x = 0 setze um zu gucken was passiert.. wird der komplette Wert auch 0 oder? da doch 0 hoch irgendwas immer noch 0 bleibt.

Definitionsgemäß ist $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ .

15.08.2011, 11:04

Pat89

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oh ja jetzt seh ich meinen denkfehler...

$\begin{eqnarray*} \cos(0) \end{eqnarray*}$ = 1

Okay zweiter Versuch:

Wenn ich den lim x-->0 betrachte dann bleibt bei der Reihe ja nur noch der Fall für n = 0

somit wäre dann der Grenzwert = -1/2

15.08.2011, 11:11

klarsoweit

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Richtig.

15.08.2011, 11:54

Dustin

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Wenn du jetzt testen willst, ob du das Ganze auch verstanden hast, kannst du ja mal

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

auf ähnliche Weise ausrechnen.

29.08.2011, 11:26

Pat89

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Heyho! Habe die Aufgabenstellung jetzt erst gesehn und gleich mal gerechnet!

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty -1^{n} *\frac{x^{2n+1} }{(2n+1)!} <br /> <br /> \Rightarrow <br /> <br /> \frac{\sin(x) }{x} = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1^{n}) * \frac{x^{2n} }{(2n+1)!} \end{eqnarray*}$

wenn ich dann den Grenzwert betrachte sollte +1 rauskommen richtig?

29.08.2011, 11:55

klarsoweit

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Richtig.

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