Komplexe Potenzreihe - grundsätzliche & explizite Frage

12.08.2011, 15:15

mr.fahrenheit

Komplexe Potenzreihe - grundsätzliche & explizite Frage

Hallo zusammen,

leider hakt es momentan ein wenig bei einigen Potenzreihen, bzw deren Konvergenzradius-Bestimmung.
Die Vorgehensweise ist soweit klar, eine Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_{n}x^n \end{eqnarray*}$ hat den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} R=\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_n}{a_{n+1}} \right | \end{eqnarray*}$ .

Was ich unserem Skript jedoch nicht eindeutig entnehmen konnte, war die Vorgehensweise, wenn die o.g. Form so nicht gegeben ist.

Soweit ich das den Musterlösungen entnommen habe, wird im Falle von z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_{n}(x+2)^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x+2 = y \end{eqnarray*}$ substituiert, und dann der für y berechnete Konvergenzradius in $\begin{eqnarray*} y_{1,2}=x_{1,2}+2 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und aufgelöst. Soweit, so gut.

Wie ist das jedoch, wenn nicht nur die Basis, sondern auch der Exponnent abweicht?
Bspw. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_{n}(x+2)^{2n+1} \end{eqnarray*}$

In einigen Musterlösungen wird dann das Quotientenkriterium für gewöhnliche Reihen angewendet und die komplette (substituierte) n-te (bzw n+1-te) Partialsumme angewendet, also in dem Beispiel oben z.B. $\begin{eqnarray*} \left | \frac{a_{n+1}y^{{2(n+1)+1}}}{a_{n}y^{2n+1}} \right | \end{eqnarray*}$ mit der Bedingung <1 für Konvergenz.
Soweit richtig, oder völlig falsch?!
Bin mit der Vorgehensweise jedenfalls einige Male auf das richtige Ergebnis gekommen, allerdings erschließt sich mir der Sinn dieser Anwendung nicht so ganz. Nun ja..

Um das ganze nicht zu kompliziert werden zu lassen, mal eine Anwendung an einer komplexen Potenzreihe. Die Musterlösung spuckt leider ein anderes Ergebnis aus, also muss ich irgendwo noch einen Fehler drin haben, ich bitte um Hilfe:

Die Aufgabe: Bestimmen Sie den Konvergenzradius der komplexen Potenzreihe.
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(-1)^n\frac{(3z-3i)^{3n+1}}{27^n} \end{eqnarray*}$

1. Schritt: Substitution
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~(-1)^n\frac{(3z-3i)^{3n+1}}{27^n} = \sum_{n=0}^\infty~\frac{(-1)^n}{27^n}{y^{3n+1}} \end{eqnarray*}$

2. Schritt: Konvergenzradius für y berechnen:
$\begin{eqnarray*} \left | \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{27^{n+1}}{y^{3(n+1)+1}}}{\frac{(-1)^{n}}{27^{n}}{y^{3n+1}}} \right | \end{eqnarray*}$
=
$\begin{eqnarray*} \left | \frac{n}{n+1}y^3 \right |\rightarrow y^3 \end{eqnarray*}$
mit der Bedingung |y^3|<1 ergibt sich nun also ein Konvergenzradius für |y|<1 ?!

und eingesetzt in $\begin{eqnarray*} 3z-3i = y <=> z = i+\frac{y}{3} \end{eqnarray*}$

ergibt sich ein Konvergenzradius von R=1/3 um i.

Allerdings spuckt die Musterlösung für die substituierte Potenzreihe einen Konvergenzradius von 3 aus, und somit als Lösung R=1 um i.

Vielleicht kann mir ja jemand einen Anstoß geben, wie ich dahinkomme smile

Gruß

mr.

edit: habe ich den Vorstellungs-Bereich nur übersehen, oder gibt's den nicht? :P

12.08.2011, 18:40

Elvis

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Im Beispiel hast du im Nenner 27=3³ vergessen, also |y/3|<1.

13.08.2011, 14:38

chris95

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Beachte außerdem, dass der Betrag keiner 1 sein muss.
Wie berechnet sich der Betrag einer komplexen Zahl?

Eine andere Möglichkeit wäre, dass du aus deiner Potenzreihe eine Reihe der Form a_n*x^n machst. Dann kannste ganz easy mit Cauchy-Hadamard drauf.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sum x^{2n} \leftrightarrow \sum a_k * x^k \end{eqnarray*}$

mit a_k ist 0 für k ungerade und 1 für k gerade.

Also gehst mit Cauchy-Hadamard drauf und merkts. Dass R=1 ist.
Diese Vorgehensweise geht bei dir auch.

14.08.2011, 12:16

mr.fahrenheit

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Zitat:

Original von Elvis
Im Beispiel hast du im Nenner 27=3³ vergessen, also |y/3|<1.

ich scheine irgendwas auf den Augen zu haben, oder mache einen ganz dämlichen Rechenfehler. Kannst du mir verraten, wie du auf 27 im Nenner kommst?

$\begin{eqnarray*} 27n/(27(n+1)) \end{eqnarray*}$ kürzt sich doch zu $\begin{eqnarray*} n/(n+1) \end{eqnarray*}$ und läuft somit gegen 1?!

Zitat:

Original von chris93
Beachte außerdem, dass der Betrag keiner 1 sein muss.
Wie berechnet sich der Betrag einer komplexen Zahl?

dass der Betrag kleiner 1 sein muss, war ja die Vermutung, die ich auch aufgestellt hatte

Zitat:

Original von mr.fahrenheit
mit der Bedingung |y^3|<1 ergibt sich nun also ein Konvergenzradius für |y|<1 ?!

Also zunächst einmal, was meine Herangehensweise somit korrekt? Nicht wie bei "normalen" Potenzreihen den Limes von $\begin{eqnarray*} a_n/a_{n+1)} \end{eqnarray*}$ , sondern wie beim Quotientenkriterium von gewöhnlichen Reihen den Kehrwert $\begin{eqnarray*} a_{n+1}/a_n \end{eqnarray*}$ berechnen und die Bedingung, dass das ganze kleiner 1 sein muss, ansetzen? smile

Der Betrag einer komplexen Zahl berechnet sich aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ .

Das führt zu $\begin{eqnarray*} 3z-3i=|y|<1 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=3z-3i<1 \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{9z^2+9}<1 \end{eqnarray*}$
...
Muss ich das denn anwenden, oder kann ich nicht, um $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ zu berechnen wie oben geschehen statt |y| jeweils einmal 1 und -1 für y einsetzen und das auflösen? Zumindest wenn ich mit dem |y|<3 der Musterlösung weiterrechne, komme ich ja auf z_1= i+1 und z_2=i-1.

Die beiden großen Fragen, die bleiben sind eigentlich:
1) wie komme ich auf das richtige |y|?
1a) Ist mein Rechenweg

Zitat:

Nicht wie bei "normalen" Potenzreihen den Limes von $\begin{eqnarray*} a_n/a_{n+1)} \end{eqnarray*}$ , sondern wie beim Quotientenkriterium von gewöhnlichen Reihen den Kehrwert $\begin{eqnarray*} a_{n+1}/a_n \end{eqnarray*}$ berechnen und die Bedingung, dass das ganze kleiner 1 sein muss, ansetzen?

korrekt?

und 1b) Wenn ja, wo ist mein Rechenfehler oben?

Von der Herangehensweise nach Cauchy-Hadamard habe ich noch nie gehört, werde das mal ausprobieren, wenn ich mit der jetzigen Methode sicher als Ziel komme. Möchte jetzt aber erstmal keinen Nebenkriegsschauplatz eröffnen, sondern mich auf einen Rechenweg konzentrieren.

Vielen Dank für eure Hilfe!

14.08.2011, 18:16

Elvis

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$\begin{eqnarray*} \frac {27^n}{27^{n+1}}=\frac 1 {27} \end{eqnarray*}$ . Das sind Potenzen, nicht Produkte.

15.08.2011, 00:43

mr.fahrenheit

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oh Gott, wie peinlich... unglücklich

Den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen...

Dank dir!!

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